קוד:ערך מוחלט ואי שיוויונים: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "\begin{definition} באופן אינטואיטיבי, הערך המוחלט של מספר ממשי הוא המרחק שלו מ-$0$. לדוגמא: $|7|=|-7|=7$\\...")
 
אין תקציר עריכה
שורה 2: שורה 2:
באופן אינטואיטיבי, הערך המוחלט של מספר ממשי הוא המרחק שלו מ-$0$. לדוגמא: $|7|=|-7|=7$\\
באופן אינטואיטיבי, הערך המוחלט של מספר ממשי הוא המרחק שלו מ-$0$. לדוגמא: $|7|=|-7|=7$\\
ההגדרה המדוייקת של הערך המוחלט היא:
ההגדרה המדוייקת של הערך המוחלט היא:
$$|x|=\begin{cases}x & x\geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}=\sqrt{x^2}$$
$$|x|=\begin{cases}x & x\geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}=\sqrt{x^2}$$
\end{definition}
\end{definition}
\subsection{תכונות הערך המוחלט}
לכל x מתקיים $|x|\geq 0$
$|x|=0$ אם ורק אם $x=0$
$|x\cdot y| = |x|\cdot |y|$
$x\leq |x|$
אי שיוויון המשולש: $|x+y|\leq |x|+|y|$
$||x|-|y||\leq |x-y|$


\begin{remark}[תכונות בסיסיות של ערך מוחלט]
$\\$
\begin{enumerate}
\item $\forall x : |x|=|-x|$
\item $\forall x : |x|\geq 0 $
\item $x=0 \Leftrightarrow |x|=0$
\item $\forall x,y: |x\cdot y| = |x|\cdot |y|$
\item $\forall x: x\leq |x|$
\end{enumerate}
\end{remark}


\begin{remark}
המרחק בין $x$ ל-$y$ הוא $|x-y|$. נשים לב שזה כמובן כמו המרחק בין $y$ ל-$x$, שלפי ההגדרה הזו הוא $|y-x| $.
\end{remark}


$|x-y|$ הוא המרחק בין x לבין y
\begin{thm}[אי שיוויון המשולש]
$$\forall x,y: |x+y|\leq |x|+|y| , ||x|-|y||\leq |x-y|$$
\end{thm}


\begin{remark}[תכונות בסיסיות של אי שיוויונים]
$\\$
\begin{enumerate}
\item $ x\leq y \Leftrightarrow -x\geq -y $
\item נניח $0\leq x,y$ אזי $x\leq y$ אם ורק אם $ x^2\leq y^2 $
\item נניח $0< x,y$ אזי $x\leq y$ אם ורק אם $\frac{1}{x} \geq \frac{1}{y}$
\end{enumerate}


\end{remark}


\begin{remark}[ערך מוחלט ואי שיוויונים]
נניח $L\geq 0$ אזי  
נניח $L\geq 0$ אזי  
$|x|\leq L$ אם ורק אם $-L\leq x\leq L$
$|x|\geq L$ אם ורק אם $x\geq L$ או $x\leq -L$
\subsection{תכונות של אי שיוויונים}
$x\leq y$ אם ורק אם $-x\geq -y$
נניח $0\leq x,y$ אזי $x\leq y$ אם ורק אם $x^2\leq y^2$


נניח $0< x,y$ אזי $x\leq y$ אם ורק אם $\frac{1}{x} \geq \frac{1}{y}$
\begin{enumerate}
\item $|x|\leq L \Leftrightarrow -L<x<L$
\item $|x|\geq L \Leftrightarrow x\geq L \text{ or } x\leq -L $
\end{enumerate}
\end{remark}

גרסה מ־21:55, 17 בספטמבר 2014

\begin{definition} באופן אינטואיטיבי, הערך המוחלט של מספר ממשי הוא המרחק שלו מ-$0$. לדוגמא: $|7|=|-7|=7$\\ ההגדרה המדוייקת של הערך המוחלט היא: $$|x|=\begin{cases}x & x\geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}=\sqrt{x^2}$$ \end{definition}

\begin{remark}[תכונות בסיסיות של ערך מוחלט] $\\$ \begin{enumerate} \item $\forall x : |x|=|-x|$ \item $\forall x : |x|\geq 0 $ \item $x=0 \Leftrightarrow |x|=0$ \item $\forall x,y: |x\cdot y| = |x|\cdot |y|$ \item $\forall x: x\leq |x|$ \end{enumerate} \end{remark}

\begin{remark} המרחק בין $x$ ל-$y$ הוא $|x-y|$. נשים לב שזה כמובן כמו המרחק בין $y$ ל-$x$, שלפי ההגדרה הזו הוא $|y-x| $. \end{remark}

\begin{thm}[אי שיוויון המשולש] $$\forall x,y: |x+y|\leq |x|+|y| , ||x|-|y||\leq |x-y|$$ \end{thm}

\begin{remark}[תכונות בסיסיות של אי שיוויונים] $\\$ \begin{enumerate} \item $ x\leq y \Leftrightarrow -x\geq -y $ \item נניח $0\leq x,y$ אזי $x\leq y$ אם ורק אם $ x^2\leq y^2 $ \item נניח $0< x,y$ אזי $x\leq y$ אם ורק אם $\frac{1}{x} \geq \frac{1}{y}$ \end{enumerate}

\end{remark}

\begin{remark}[ערך מוחלט ואי שיוויונים] נניח $L\geq 0$ אזי

\begin{enumerate} \item $|x|\leq L \Leftrightarrow -L<x<L$ \item $|x|\geq L \Leftrightarrow x\geq L \text{ or } x\leq -L $ \end{enumerate} \end{remark}