קוד:קיבוץ איברים בטור: הבדלים בין גרסאות בדף
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "אנחנו רגילים מחיי היום יום שחוק הקיבוץ עובד לחיבור: $(a+b)+c=a+(b+c) $ . האם זה ככה בטורים? נסתכל...") |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
אנחנו רגילים מחיי היום יום שחוק הקיבוץ עובד לחיבור: $(a+b)+c=a+(b+c) $ . האם זה ככה בטורים? | אנחנו רגילים מחיי היום יום שחוק הקיבוץ עובד לחיבור: $(a+b)+c=a+(b+c) $ . האם זה ככה בטורים? | ||
נסתכל על $1-1+1-1+1-1+\cdots=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots=0+0+0+\cdots = 0 $ | נסתכל על | ||
$$1-1+1-1+1-1+\cdots=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots=0+0+0+\cdots = 0 $$ | |||
אפשר גם להגיד ש- | |||
$$1-1+1-1+1-1+1-\cdots=1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-\cdots=1-0-0-0-\cdots=1 $$ | |||
לסיכום, אי אפשר באופן כללי, אבל מתי כן? | |||
$ | \begin{thm} | ||
אם טור מתכנס, אפשר להשתמש בחוק הקיבוץ. יותר פורמלית, אם נגדיר $n_k$ סדרה מונוטונית עולה של טבעיים אז הטור $(a_1+a_2+\cdots+a_{n_1})+(a_{n_1+1}+\cdots a_{n_2})+\cdots = \sum_{k=1}^\infty (\sum_{p=n_{k-1}+1}^{n_k} a_p) $ מתכנס לאותו מספר כמו הטור המקורי. | |||
\end{thm} | |||
\begin{proof} | |||
לשם ההוכחה נסמן את הסס"ח של הטור המקורי בתור $A_n$ והסס"ח של הטור "החדש" בתור $\tilde{A_n} $. סדרת הסכומים החלקיים במקרה הזה תהיה פשוט | |||
$$\tilde{A_m} = \sum_{p=1}^{n_m} a_p = A_{n_m} $$ | |||
וכיוון ש- $A_{n_m} \to S$ בתור תת סדרה של $A_n $ שמתכנסת אז גם $A_m \to S $ . | |||
\end{proof} | |||
\underline{תרגיל בית:} יהי הטור $\sum a_n $ ונתון ש- $a_n\to 0 $ וגם ש- $\exists C : \forall k : |n_{k+1} -n_k | <C $ אז אם הסס"ח$\tilde{A_n} $ מתכנסת אז גם $A_n$ מתכנסת. בעצם התרגיל הוא על טור שאיבריו שואפים ל-0 והקיבוץ לא "רחב כרצוננו" אז אם הטור החדש מתכנס גם הטור המקורי. | \underline{תרגיל בית:} יהי הטור $\sum a_n $ ונתון ש- $a_n\to 0 $ וגם ש- $\exists C : \forall k : |n_{k+1} -n_k | <C $ אז אם הסס"ח$\tilde{A_n} $ מתכנסת אז גם $A_n$ מתכנסת. בעצם התרגיל הוא על טור שאיבריו שואפים ל-0 והקיבוץ לא "רחב כרצוננו" אז אם הטור החדש מתכנס גם הטור המקורי. | ||
גרסה מ־12:24, 3 בספטמבר 2014
אנחנו רגילים מחיי היום יום שחוק הקיבוץ עובד לחיבור: $(a+b)+c=a+(b+c) $ . האם זה ככה בטורים?
נסתכל על $$1-1+1-1+1-1+\cdots=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots=0+0+0+\cdots = 0 $$ אפשר גם להגיד ש- $$1-1+1-1+1-1+1-\cdots=1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-\cdots=1-0-0-0-\cdots=1 $$ לסיכום, אי אפשר באופן כללי, אבל מתי כן?
\begin{thm} אם טור מתכנס, אפשר להשתמש בחוק הקיבוץ. יותר פורמלית, אם נגדיר $n_k$ סדרה מונוטונית עולה של טבעיים אז הטור $(a_1+a_2+\cdots+a_{n_1})+(a_{n_1+1}+\cdots a_{n_2})+\cdots = \sum_{k=1}^\infty (\sum_{p=n_{k-1}+1}^{n_k} a_p) $ מתכנס לאותו מספר כמו הטור המקורי. \end{thm}
\begin{proof} לשם ההוכחה נסמן את הסס"ח של הטור המקורי בתור $A_n$ והסס"ח של הטור "החדש" בתור $\tilde{A_n} $. סדרת הסכומים החלקיים במקרה הזה תהיה פשוט $$\tilde{A_m} = \sum_{p=1}^{n_m} a_p = A_{n_m} $$ וכיוון ש- $A_{n_m} \to S$ בתור תת סדרה של $A_n $ שמתכנסת אז גם $A_m \to S $ . \end{proof}
\underline{תרגיל בית:} יהי הטור $\sum a_n $ ונתון ש- $a_n\to 0 $ וגם ש- $\exists C : \forall k : |n_{k+1} -n_k | <C $ אז אם הסס"ח$\tilde{A_n} $ מתכנסת אז גם $A_n$ מתכנסת. בעצם התרגיל הוא על טור שאיבריו שואפים ל-0 והקיבוץ לא "רחב כרצוננו" אז אם הטור החדש מתכנס גם הטור המקורי.