הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעה/בוחן 1 - פתרון"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף א) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←שאלה 3 (30 נק)) |
||
שורה 105: | שורה 105: | ||
הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה | הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה | ||
− | + | פתרון: | |
נרצה להוכיח כי הסדרה מונוטונית עולה וחסומה. | נרצה להוכיח כי הסדרה מונוטונית עולה וחסומה. | ||
− | ראשית | + | ראשית נשים לב שהסדרה חיובית כי תמיד <math>a_n=1+\frac{|a_n|}{2}>0</math>. (וגם <math>a_1=1>0</math>) |
− | + | לכן אפשר לכתוב את הסדרה | |
− | + | ||
− | + | ||
+ | <math>a_{n+1}=1+\frac{a_n}{2}</math> | ||
+ | כעת נוכיח באינדוקציה שהיא מונוטונית עולה: | ||
1) מונוטונית עולה: צריך להראות ש <math>a_{n+1}\geqa_n</math> | 1) מונוטונית עולה: צריך להראות ש <math>a_{n+1}\geqa_n</math> |
גרסה מ־09:21, 24 בדצמבר 2014
תוכן עניינים
שאלה 1 (30 נק)
סעיף א
תהיינה שתי סדרות כך ש:
- 1.
- 2.
הוכיחו/הפריכו:
סעיף ב
תהי סדרה וקבוע כך ש
הוכיחו כי מתכנסת.
(רמז: יש בשאלה הזו קושי)
שאלה 2 (40 נק)
סעיף א
לכל שתי קבוצות לא ריקות וחסומות מלעיל.
- 1. הוכיחו/הפריכו:
- 2. הוכיחו/הפריכו:
פתרון:
1) לא נכון. ניקח ו
אז
אבל
2) נכון.
בלי הגבלת כלליות נניח ש ולכן
נסמן .
נוכיח ש מקיים את שתי התכונות של
תכונה א) חסם מלעיל: יהי . אם אז בוודאי
ואם אז
ולכן אכן חסם מלעיל של
תכונה ב) חסם מלעיל הכי קטן: נניח ש (צריך להראות ש אינו חסם מעליל של )
היות ש אז קיים כך ש (לפי תכונה של חסם עליון של )
אבל בוודאי כלומר קיים איבר כך ש ולכן אינו חסם מלעיל של כנדרש.
אכן הוכחנו כי חסם עליון של . ובזה סיימנו.
סעיף ב
נניח .
- הוכיחו/הפריכו:
פתרון: הטענה נכונה.
תהי תת סדרה של כך ש
(הרי יש תת סדרה שמתכנסת לגבול העליון)
היות ש ,
אז כמובן ש
(כי תת סדרה של סדרה מתכנסת, מתכנסת לאותו מספר).
ולכן
כלומר הוא גם גבול חלקי של ולכן
(כי הוא הגבול החלקי הגדול ביותר)
בדרך דומה מוכיחים
ולכן
כנדרש
שאלה 3 (30 נק)
סעיף א
תהי סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה
הוכיחו כי הסדרה מתכנסת ומצאו את גבולה
פתרון:
נרצה להוכיח כי הסדרה מונוטונית עולה וחסומה.
ראשית נשים לב שהסדרה חיובית כי תמיד . (וגם )
לכן אפשר לכתוב את הסדרה
כעת נוכיח באינדוקציה שהיא מונוטונית עולה:
1) מונוטונית עולה: צריך להראות ש עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \geqa לא מוכרת): a_{n+1}\geqa_n
עבור: זה אכן נכון כי
נניח שהטענה הכונה עבור כלומר: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \geqa לא מוכרת): a_{n+1}\geqa_n
נוכיח עבור כלומר נוכיח כי
זה נכון מפני ש
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): a_{n+2}=\frac
סעיף ב
קבעו אם הטורים הבאים מתכנסים