קוד:הגדרת הגבול לפי קושי

כעת מעולם הסדרות אנחנו הולכים לעבור לעולם הפונקציות, בו נעסוק מעכשיו ועד סוף אינפי. כמו שבסדרות התחלנו מההגדרה של מה הוא גבול סדרה, גם פה אנו צריכים לדבר על גבול של פונקציה.\\ אם בסדרות אפשר היה לדבר על גבול "באינסוף" בלבד, כלומר לאן הסדרה הולכת ושואפת כשמתקדמים באיברי הסדרה, הרי שבפונקציה אפשר לדבר על לאן הפונקציה מתקרבת בסביבה של נקודה.\\ להגדרת גבול של פונקציה בנקודה יש 2 גרסאות, לפי קושי ולפי היינה. פה נראה את ההגדרה של קושי לגבול: \begin{definition} אומרים ש-$L$ הוא גבול של $f(x)$ בנקודה $a$ ומסמנים: $ \displaystyle{\lim_{x\to a}} f(x)=L $ אם מתקיים $$\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \forall x : \left (0<|x-a|<\delta \rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \right ) $$ \end{definition} שוב אנו נתקלים בהגדרת גבול שנראית מסובכת במבט ראשון, אבל העקרון העומד מאחוריה הגיוני. אנו רוצים שעבור כל מרחק מהגבול $L$, לא חשוב כמה קטן (זה ה- $\varepsilon>0 $), תהיה לנו סביבה של $a$ (ה"רדיוס" שלה הוא $\delta$) שכל הערכים בסביבה זו מלבד $a$ (משום שהרעיון בגבול זה שלא אכפת לנו מה קורה בנקודה עצמה) מועברים ע"י $f$ למספרים שהמרחק שלהם מ-$L$ קטן מהמרחק ההתחלתי שניתן לנו.

\begin{example}

$f(x)=\begin{cases} 1 & \text{if} \ x\neq0 \\ 0& \text{if}\ x=0\end{cases} $ אז $\lim_{x\to 0} f(x)=1 $ \end{example} \begin{proof} יהי אפסילון גדול מ-$0$, במקרה הזה אפשר לבחור כל $\delta $, ניקח לדוגמה $\delta = 1 $ ואז לכל $x$ שמקיים $|x-0|<1 $ מתקיים ש- $|f(x)-1|=|1-1|=0<\varepsilon $ . \end{proof}