הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/10.4.11"
(←האינטגרל המסויים {{הערה|(המשך)}}) |
(←פתרון) |
||
שורה 54: | שורה 54: | ||
קבעו התכנסות של <math>\int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x^2}\mathrm dx</math>. | קבעו התכנסות של <math>\int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x^2}\mathrm dx</math>. | ||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | ידוע כי <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}</math> מתכנס. הגבול <math>\lim_{x\to\infty}\frac{\ \frac{\arctan(x)}{x^2}\ }\ | + | ידוע כי <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}</math> מתכנס. הגבול <math>\lim_{x\to\infty}\frac{\;\frac{\arctan(x)}{x^2}\;}{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to\infty}\arctan(x)=\frac\pi2<\infty</math> קיים ולכן <math>\int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x^2}\mathrm dx</math> מתכנס. {{משל}} |
גרסה אחרונה מ־14:18, 14 במאי 2015
תוכן עניינים
האינטגרל המסויים (המשך)
הוכחנו בהרצאה שאם f גזירה ב- ו-c נקודה כלשהי בקטע אז מתקיים
.
דוגמה 1
גזור את הפונקציות הבאות:
:
פתרון
ברור כי
פונקציה גזירה, ולכן
.
:
פתרון
בוודאי גזירה בתחום. נסמן
ולכן
.
הערה: במקרה של נפרק את האינטגרל לסכום
.
אינטגרלים לא אמיתיים מסוג I
לפחות אחד מגבולות האינטגרציה אינסופי. נסמן ובאופן דומה
וכן
עבור c כך ששני האינטגרלים יהיו קיימים.
כלל ידוע: מתכנס אם"ם
.
דוגמה 2
חשבו את , אם קיים.
פתרון
, כלומר מתבדר.
דוגמה 3
חשבו את .
פתרון
נציב![y=\arctan(x)](/images/math/5/2/6/526724be55da5e9799af44715398bd3f.png)
![\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}{1+x^2}](/images/math/2/8/3/2833faad087e7692cfb6d26cc03f5b6d.png)
![\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{\arctan(-R)}^{\arctan(0)} y\mathrm dy+\lim_{R\to\infty}\int\limits_{\arctan(0)}^{\arctan(R)} y\mathrm dy\\&=\left[\frac{y^2}2\right]_{y=-\frac\pi2}^0+\left[\frac{y^2}2\right]_{y=0}^\frac\pi2\\&=-\frac{\pi^2}8+\frac{\pi^2}8\\&=0\end{align}](/images/math/e/c/c/ecc5957381efddd24cc967cfb5d93a34.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)
דוגמה 4
חשבו .
פתרון
.
מבחני התכנסות
מבחן ההשוואה
אזי אם
מתכנס אז
מתכנס.
דוגמה 5
קבעו התכנסות של .
פתרון
נבדוק מתי :
. לכן נרשום
. האינטגרל I בוודאי מתכנס, כי גבולות האינטגרציה סופיים והפונקציה רציפה בתחום. נותר להראות ש-II מתכנס: כפי שכבר הראנו, בתחום הזה
ולכן מספיק לבדוק התכנסות האינטגרל
, שכידוע מתכנס.
דוגמה 6
קבעו התכנסות האינטגרל (האמיתי) .
פתרון
ברור שפרט לנקודה 0 האינטגרנד מוגדר בקטע. נסתכל על הגבול כאשר :
. לכן נגדיר
. פונקציה זו רציפה בקטע הסגור
ולכן ברור שהאינטגרל שלה בקטע מתכנס. מכיוון שהיא שונה מהאינטגרנד המקורי במספר סופי של נקודות גם
מתכנס.
דוגמה 7
קבעו התכנסות של .
פתרון
בקטע הנ"ל arctan היא פונקציה עולה. לכן אם נכוון להתבדרות נשים לב כי ולכן
. אבל
מתבדר ולכן כך גם האינטגרל הנתון.
מבחן ההשוואה הגבולי
נתון כאשר f,g פונקציות אי-שליליות.
- אם
אז
ו-
מתכנסים ומתבדרים יחדיו.
- אם
אז התכנסות
גוררת התכנסות
.
- אם
אז התכנסות
גוררת התכנסות
.
דוגמה 8
קבעו התכנסות של .
פתרון
ידוע כי מתכנס. הגבול
קיים ולכן
מתכנס.