הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4"
מתוך Math-Wiki
(←מרחבים וקטורים) |
(←מרחבים וקטורים) |
||
שורה 13: | שורה 13: | ||
* <math>V</math> היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של '''חיבור''' (+). כלומר <math>+:V\times V \to V</math> | * <math>V</math> היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של '''חיבור''' (+). כלומר <math>+:V\times V \to V</math> | ||
* <math>\mathbb{F}</math> הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של <math>V</math> וכפל בסקלאר. | * <math>\mathbb{F}</math> הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של <math>V</math> וכפל בסקלאר. | ||
− | * '''כפל בסקלאר''' (<math>\cdot</math>) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי <math>\mathbb{F}</math>. | + | * '''כפל בסקלאר''' (<math>\cdot</math>) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי <math>\mathbb{F}</math>. פורמאלית <math>\cdot : \mathbb{F}\times V \to V</math> |
− | פורמאלית <math>\cdot : \mathbb{F}\times V \to V</math> | + | |
אקסיומות מרחב וקטורי: | אקסיומות מרחב וקטורי: | ||
שורה 43: | שורה 42: | ||
.2 <math>0_{F}v=0_{V}</math> | .2 <math>0_{F}v=0_{V}</math> | ||
+ | |||
+ | ==דוגמאות == | ||
+ | 1. | ||
+ | <math>V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\}</math> מעל <math>\mathbb{F}</math> | ||
+ | |||
+ | עם חיבור <math>(a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n})</math> | ||
+ | |||
+ | וכפל בסקלאר <math>\alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n})</math> |
גרסה מ־12:12, 9 ביולי 2015
מרחבים וקטורים
דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ
עם חיבור
וכפל בסקלאר הוא מרחב וקטורי.
ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.
הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה , כאשר
-
היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר
-
הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של
וכפל בסקלאר.
- כפל בסקלאר (
) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי
. פורמאלית
אקסיומות מרחב וקטורי:
- אקסיומות של החיבור ב
: לכל
מתקיים
- מוגדרות:
.
- קיבוץ:
.
- חילוף:
.
- איבר נטרלי:
.
- איבר נגדי:
.
- מוגדרות:
- אקסיומות של כפל וחיבור של שדה: בהגדרת שדה
- אקסיומות כפל בסקלאר: לכל
מתקיים
- מוגדרות
- קיבוץ:
- כפל ביחידה (של השדה):
- פילוג:
- מוגדרות
טרמינולוגיה: אומרים ש מרחב וקטורי מעל
.
איברי נקראים וקטורים. איברי
נקראים סקלארים.
תכונות בסיסיות:
.1
.2
דוגמאות
1.
מעל
![]()
עם חיבור
וכפל בסקלאר