88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4

מרחבים וקטורים

דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ[math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\} }[/math]

עם חיבור [math]\displaystyle{ (x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2}) }[/math]

וכפל בסקלאר [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z) }[/math] הוא מרחב וקטורי.

ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.

הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה [math]\displaystyle{ (V,\mathbb{F},+,\cdot) }[/math], כאשר

• [math]\displaystyle{ V }[/math] היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר [math]\displaystyle{ +:V\times V \to V }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של [math]\displaystyle{ V }[/math] וכפל בסקלאר.
• כפל בסקלאר ([math]\displaystyle{ \cdot }[/math]) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. פורמאלית [math]\displaystyle{ \cdot : \mathbb{F}\times V \to V }[/math]

אקסיומות מרחב וקטורי:

1. אקסיומות של החיבור ב [math]\displaystyle{ V }[/math]: לכל [math]\displaystyle{ v,w,u\in V }[/math] מתקיים
   1. מוגדרות: [math]\displaystyle{ v+w\in V }[/math] .
   2. קיבוץ: [math]\displaystyle{ v+(u+w)=(v+u)+w }[/math] .
   3. חילוף: [math]\displaystyle{ v+u=u+v }[/math] .
   4. איבר נטרלי: [math]\displaystyle{ \exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v }[/math] .
   5. איבר נגדי: [math]\displaystyle{ \forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0 }[/math] .
2. אקסיומות של כפל וחיבור של שדה: בהגדרת שדה
3. אקסיומות כפל בסקלאר: לכל [math]\displaystyle{ v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים
   1. מוגדרות [math]\displaystyle{ \alpha v\in V }[/math]
   2. קיבוץ: [math]\displaystyle{ \alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v }[/math]
   3. כפל ביחידה (של השדה): [math]\displaystyle{ 1_{\mathbb{F}}\cdot v=v }[/math]
   4. פילוג:
      1. [math]\displaystyle{ \alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u }[/math]
      2. [math]\displaystyle{ (\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v }[/math]

טרמינולוגיה: אומרים ש [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].

איברי [math]\displaystyle{ V }[/math] נקראים וקטורים. איברי [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] נקראים סקלארים.

תכונות בסיסיות:

.1 [math]\displaystyle{ (-1_{F})v=(-v) }[/math]

.2 [math]\displaystyle{ 0_{F}v=0_{V} }[/math]

דוגמאות

1. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\} }[/math] מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]

עם חיבור [math]\displaystyle{ (a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n}) }[/math]

וכפל בסקלאר [math]\displaystyle{ \alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n}) }[/math]

2. מרחב המטריצות [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.

3. מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית [math]\displaystyle{ \mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\} }[/math] מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]

עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.

4. מרחב הפולינומים [math]\displaystyle{ \mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\} }[/math] עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.

5. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R} }[/math] הוא מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{Q} }[/math] עם חיבור וכפל "רגילים".

6. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{C}^{3} }[/math] הוא מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math].

הערה: [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^{3} }[/math] הוא אינו מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math] (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי [math]\displaystyle{ i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3 }[/math] והכפל בניהם צריך להיות שייך ל [math]\displaystyle{ V }[/math] אבל [math]\displaystyle{ i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3 }[/math]

תתי מרחבים

הגדרה יהיה [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. תת קבוצה [math]\displaystyle{ W\subseteq V }[/math] יקרא תת מרחב אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות V. סימון [math]\displaystyle{ W\leq V }[/math]

הערה: כדי לבדוק אם W\subseteq V הוא תת מרחב מספיק לבדוק

1. לכל [math]\displaystyle{ w,u\in W }[/math] מתקיים
2. מוגדרות: [math]\displaystyle{ u+w\in W }[/math] .
3. איבר נטרלי: 0 של [math]\displaystyle{ V }[/math] נמצא ב-[math]\displaystyle{ W }[/math]
4. אקסיומות כפל בסקלאר: לכל [math]\displaystyle{ w\in W,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים
   1. מוגדרות [math]\displaystyle{ \alpha w\in W }[/math]

את שאר האקסיומות [math]\displaystyle{ W }[/math] יורש מ [math]\displaystyle{ V }[/math] כתת קבוצה.

הערה: ניתן לרכז את הבדיקות הנ"ל מספיק לבדוק

1. [math]\displaystyle{ W\not=\emptyset }[/math]
2. שלכל [math]\displaystyle{ w,u\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \alpha u+w\in W }[/math].

אבחנה: [math]\displaystyle{ \{0\},V\subseteq V }[/math] תמיד תתי מרחבים ונקראים [math]\displaystyle{ תתי המרחבים הטריוואלים }[/math].