88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4

מרחבים וקטורים

דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ[math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^{3}:=\{(x,y,z)\,|\, x,y,z,\in\mathbb{R}\} }[/math]

עם חיבור [math]\displaystyle{ (x_{1},y_{1},z_{1})+(x_{2},y_{2},z_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2}) }[/math]

וכפל בסקלאר [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{R} , \alpha(x,y,z)=(\alpha z,\alpha y,\alpha z) }[/math] הוא מרחב וקטורי.

ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.

הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה [math]\displaystyle{ (V,\mathbb{F},+,\cdot) }[/math], כאשר

• [math]\displaystyle{ V }[/math] היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר [math]\displaystyle{ +:V\times V \to V }[/math]
• [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של [math]\displaystyle{ V }[/math] וכפל בסקלאר.
• כפל בסקלאר ([math]\displaystyle{ \cdot }[/math]) היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. פורמאלית [math]\displaystyle{ \cdot : \mathbb{F}\times V \to V }[/math]

אקסיומות מרחב וקטורי:

1. אקסיומות של החיבור ב [math]\displaystyle{ V }[/math]: לכל [math]\displaystyle{ v,w,u\in V }[/math] מתקיים
   1. מוגדרות: [math]\displaystyle{ v+w\in V }[/math] .
   2. קיבוץ: [math]\displaystyle{ v+(u+w)=(v+u)+w }[/math] .
   3. חילוף: [math]\displaystyle{ v+u=u+v }[/math] .
   4. איבר נטרלי: [math]\displaystyle{ \exists0\in V:\,\forall v\in V:0+v=v }[/math] .
   5. איבר נגדי: [math]\displaystyle{ \forall v\in V\,\exists(-v)\in V:\, v+(-v)=0 }[/math] .
2. אקסיומות של כפל וחיבור של שדה: בהגדרת שדה
3. אקסיומות כפל בסקלאר: לכל [math]\displaystyle{ v,u\in V,\alpha,\beta\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים
   1. מוגדרות [math]\displaystyle{ \alpha v\in V }[/math]
   2. קיבוץ: [math]\displaystyle{ \alpha(\beta v)=(\alpha\beta)v }[/math]
   3. כפל ביחידה (של השדה): [math]\displaystyle{ 1_{\mathbb{F}}\cdot v=v }[/math]
   4. פילוג:
      1. [math]\displaystyle{ \alpha(v+u)=\alpha v+\alpha u }[/math]
      2. [math]\displaystyle{ (\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v }[/math]

טרמינולוגיה: אומרים ש [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math].

איברי [math]\displaystyle{ V }[/math] נקראים וקטורים. איברי [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] נקראים סקלארים.

תכונות בסיסיות:

.1 [math]\displaystyle{ (-1_{F})v=(-v) }[/math]

.2 [math]\displaystyle{ 0_{F}v=0_{V} }[/math]

דוגמאות

1. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{F}^{n}:=\{(a_{1,}\dots,a_{n})|\, a_{i}\in\mathbb{F}\} }[/math] מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]

עם חיבור [math]\displaystyle{ (a_{1,}\dots,a_{n})+(b_{1,}\dots,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\dots,a_{n}+b_{n}) }[/math]

וכפל בסקלאר [math]\displaystyle{ \alpha(a_{1,}\dots,a_{n})=(\alpha a_{1,}\dots,\alpha a_{n}) }[/math]

2. מרחב המטריצות [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.

3. מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית [math]\displaystyle{ \mathbb{F}_{n}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\,\forall i \, a_{i}\in\mathbb{F}\} }[/math] מעל שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]

עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.

4. מרחב הפולינומים [math]\displaystyle{ \mathbb{F}[x]=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{n}x^{n}|\, a_{i}\in\mathbb{F},n\in\mathbb{N}\} }[/math] עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.

5. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R} }[/math] הוא מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{Q} }[/math] עם חיבור וכפל "רגילים".

6. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{C}^{3} }[/math] הוא מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math].

הערה: [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^{3} }[/math] הוא אינו מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C} }[/math] (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי [math]\displaystyle{ i\in \mathbb{F},(1,1,1)\in \mathbb{R}^3 }[/math] והכפל בניהם צריך להיות שייך ל [math]\displaystyle{ V }[/math] אבל [math]\displaystyle{ i\cdot (1,1,1)=(i,i,i)\not\in \mathbb{R}^3 }[/math]

תתי מרחבים

הגדרה יהיה [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. תת קבוצה [math]\displaystyle{ W\subseteq V }[/math] יקרא תת מרחב אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות V. סימון [math]\displaystyle{ W\leq V }[/math]

הערה: כדי לבדוק אם [math]\displaystyle{ W\subseteq V }[/math] הוא תת מרחב מספיק לבדוק

1. לכל [math]\displaystyle{ w,u\in W }[/math] מתקיים
2. מוגדרות: [math]\displaystyle{ u+w\in W }[/math] .
3. איבר נטרלי: 0 של [math]\displaystyle{ V }[/math] נמצא ב-[math]\displaystyle{ W }[/math]
4. אקסיומות כפל בסקלאר: לכל [math]\displaystyle{ w\in W,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים
   1. מוגדרות [math]\displaystyle{ \alpha w\in W }[/math]

את שאר האקסיומות [math]\displaystyle{ W }[/math] יורש מ [math]\displaystyle{ V }[/math] כתת קבוצה.

הערה: ניתן לרכז את הבדיקות הנ"ל מספיק לבדוק

1. [math]\displaystyle{ W\not=\emptyset }[/math]
2. שלכל [math]\displaystyle{ w,u\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \alpha u+w\in W }[/math].

אבחנה: [math]\displaystyle{ \{0\},V\subseteq V }[/math] תמיד תתי מרחבים ונקראים תתי המרחבים הטריוואלים.

דוגמאות ודוגמאות נגדיות

1. המישור האוקלידי [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}^{2} }[/math] מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R} }[/math]

א. [math]\displaystyle{ W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq 0\} }[/math] (הרביע החיובי) אינו תת מרחב כי [math]\displaystyle{ -1(1,1)=(-1,-1)\not\notin W }[/math]

ב. [math]\displaystyle{ W=\{(x,y)\,|\, x,y\geq0\:\text{ or }x,y\leq0\} }[/math] (הרביע החיובי והשלילי) אינו תת מרחב כי [math]\displaystyle{ \underset{\in W}{(2,4)}+\underset{\in W}{(-3,-3)}=(-1,1)\notin W }[/math]

ג. [math]\displaystyle{ W=\{(x,y)|\, y=3x\} }[/math] קו ישר העובר בראשית הוא כן תת מרחב. נוכיח את זה בסעיף הבא:

2. תהא [math]\displaystyle{ A\in \mathbb{F}^{m\times n} }[/math] מטריצה ונסתכל על אוסף הפתרונות למערכת ההומוגנית [math]\displaystyle{ Ax=0 }[/math]. פורמאלית [math]\displaystyle{ W=\{v\in \mathbb{F}^n \, :\, Av=0\} \subseteq \mathbb{F}^n }[/math].

טענה [math]\displaystyle{ W\leq \mathbb{F}^n }[/math] תת מרחב

הוכחה: נשתמש בקריטריון המקוצר

1. ברור ש [math]\displaystyle{ W }[/math] לא ריקה כי [math]\displaystyle{ 0\in W }[/math]
2. לכל [math]\displaystyle{ v_1,v_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] רוצים להראות כי [math]\displaystyle{ \alpha v_1 +v_2 \in W }[/math]. לפי הגדרה צריך להראות כי [math]\displaystyle{ A(\alpha v_1 +v_2)=0 }[/math]. ואכן, [math]\displaystyle{ A(\alpha v_1 +v_2)=\alpha Av_1+Av_2=\alpha 0+0 =0+0=0 }[/math].

3. מרחב המטריצות [math]\displaystyle{ V=\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] א. המטריצות מסוג [math]\displaystyle{ W=\{\left(\begin{array}{cccc} a & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & & 0\\ \vdots & & \ddots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right)|a\in\mathbb{F}\} }[/math] הן תת מרחב.

נוכיח :

1. ברור כי [math]\displaystyle{ W }[/math] אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל [math]\displaystyle{ W }[/math]
2. לכל [math]\displaystyle{ A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] רוצים להראות ש [math]\displaystyle{ \alpha A_1 +A_2 \in W }[/math] כלומר להראות שהמטריצה [math]\displaystyle{ \alpha A_1 +A_2 }[/math] כולה אפסים פרט (אולי) למקום [math]\displaystyle{ 1,1 }[/math] וזה אכן כך בגלל שזאת הצורה של [math]\displaystyle{ A_1,A_2 }[/math]

ב. המטריצות הסימטריות [math]\displaystyle{ W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A\} }[/math] והמטריצות האנטי-סימטריות [math]\displaystyle{ W=\{A\in V\,|\, A^{t}=-A\} }[/math] שתיהן תתי מרחב.

הוכחה (עבור הסימטריות)

1. ברור כי [math]\displaystyle{ W }[/math] אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל [math]\displaystyle{ W }[/math]
2. לכל [math]\displaystyle{ A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] רוצים להראות ש [math]\displaystyle{ \alpha A_1 +A_2 \in W }[/math] כלומר להראות שהמטריצה [math]\displaystyle{ \alpha A_1 +A_2 }[/math] סימטרית. נתון כי [math]\displaystyle{ A_1^t=A_1,A_2^t=A_2 }[/math]. כעת מחוקי שיחלוף

נקבל כי [math]\displaystyle{ (\alpha A_1 +A_2)^t=\alpha A_1^t +A_2^t=\alpha A_1 +A_2 }[/math].

ג.המטריצות הסימטריות איחוד עם המטריצות האנטי סימטריות [math]\displaystyle{ W=\{A\in V\,|\, A^{t}=A \text{ or } A^{t}=-A\} }[/math] אינו תת מרחב כי המטריצות [math]\displaystyle{ A_1 = \left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & & 0\cdots & 0\\ 1 & 0 & & 0 & 0\\ \vdots & & \ddots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array} \right) A_2= \left(\begin{array}{ccccc} 0 & -1 & & 0\cdots & 0\\ 1 & 0 & & 0 & 0\\ \vdots & & \ddots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array} \right) }[/math] שייכות ל [math]\displaystyle{ W }[/math] אבל החיבור שלהם לא.

ד. המטריצות משולשיות/אלכסוניות/סקלאריות הן תת מרחב.

ה. המטריצות [math]\displaystyle{ W=\{A\in V\,|\, tr(A)=0\} }[/math] הן תת מרחב

הוכחה

1. ברור כי [math]\displaystyle{ W }[/math] אינה ריקה כי מטריצת האפס שייך ל [math]\displaystyle{ W }[/math]
2. לכל [math]\displaystyle{ A_1,A_2\in W,\,\alpha\in\mathbb{F} }[/math] רוצים להראות ש [math]\displaystyle{ \alpha A_1 +A_2 \in W }[/math] כלומר להראות שעקבה של המטריצה [math]\displaystyle{ \alpha A_1 +A_2 }[/math] שווה 0. נתון כי [math]\displaystyle{ tr(A_1)=tr(A_2)=0 }[/math]. כעת מחוקי עקבה

נקבל כי [math]\displaystyle{ tr(\alpha A_1 +A_2)=\alpha tr(A_1) +tr(A_2)=\alpha 0 +0 = 0 }[/math].

4. [math]\displaystyle{ V=\mathbb{R}_{2}[x] }[/math] מרחב הפלינומים מדרגה 2 מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] .

א. [math]\displaystyle{ W=\mathbb{R}_{1}[x]=\{a+bx|\, a,b\in\mathbb{R}\} }[/math] הינו תת מרחב כי באופן כללי [math]\displaystyle{ \mathbb{R}_{n}[x] }[/math] הוא מרחב וקטורי (והפעולות מוגדרות באופן זהה לכל המרחבים).

ב. [math]\displaystyle{ W=\{a+bx|\,0\not=b\in\mathbb{R}\} }[/math] הפולינומים מדרגה 1 בדיוק אינו תת מרחב. כי פולינום האפס שהוא האיבר הנטרלי ב [math]\displaystyle{ V }[/math] לא נמצא ב[math]\displaystyle{ W }[/math] .

חיתוך תתי מרחבים

משפט: יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] . יהיו [math]\displaystyle{ W_1,W_2\leq V }[/math] תתי מרחבים. אזי חיתוך תתי המרחבים [math]\displaystyle{ W_1\cap W_1:=\{v\in V:\, v\in W_1\land v\in W_2\} }[/math] הינו תת מרחב.

דוגמא 1

1. יהי [math]\displaystyle{ V = \mathbb{R}^4 }[/math]. נגדיר שתי תת מרחבים [math]\displaystyle{ W_1=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in V :\, x_1+x_2+x_3+x_4 =0\} }[/math]

[math]\displaystyle{ W_2=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in V :\, x_1+x_2+x_3+2x_4 =0 \land -x_1+x_2+x_3+x_4 =0 \} }[/math]

נמצא את [math]\displaystyle{ W_1\cap W_2 }[/math]

נשים לב שנוכל לאפיין את תתי המרחבים בצורה הבאה:

[math]\displaystyle{ W_1=\{v\in V :\, A_1v =0\} }[/math]

[math]\displaystyle{ W_2=\{v\in V :\, A_2v =0 \} }[/math]

כאשר [math]\displaystyle{ A_1 = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1\end{pmatrix}, A_2 = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &2 \\ -1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} }[/math]

כמו שראינו אלו תת מרחבים. כעת [math]\displaystyle{ W_1\cap W_2= \begin{pmatrix} A_1 &A_2\end{pmatrix} v =0 }[/math]

ולכן צריך בסה"כ למצוא פתרון למערכת לא הומוגנית. נעשה זאת [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \\ 1 &1 &1 &2 \\ -1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \to \\ \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \\ 0 &0 &0 &1 \\ 0 &2 &2 &2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \\ 0 &1 &1 &1\\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &0 \\ 0 &1 &1 &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &1 &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} }[/math]

התשובה הסופית

[math]\displaystyle{ W_1\cap W_2 = \{\left( \begin{array}{c} 0 \\ -t\\ t\\ 0 \end{array}\right) : \, t\in \mathbb{R} \} }[/math]

דוגמא 2

יהי [math]\displaystyle{ V = \mathbb{R}^3 }[/math]. נגדיר שתי תת מרחבים

[math]\displaystyle{ W_1=\{\alpha_1\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} + +\alpha_2\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} }[/math]

[math]\displaystyle{ W_2=\{\alpha_1\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{R} \} }[/math]

נמצא את החיתוך בניהם

צריך למצוא סקלארים [math]\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4\in \mathbb{R} }[/math] המקיימים

[math]\displaystyle{ \alpha_1\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\-1\end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} = \alpha_3\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} +\alpha_4\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} }[/math]

שימו לב שאם מצאנו ארבעה סקלארים שמקימים את המשוואה לעיל אז אנחנו יודעים שהוקטור הזה במשוואה. עוד שימו לב שאם יודעים שהשיוויון מתקיים מספיק לדעת את [math]\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2 }[/math] או את [math]\displaystyle{ \alpha_3,\alpha_4 }[/math] כדי לחשב את הוקטור עצמו (כי שני אגפי השיוויון שווים).

בעצם, זה שוב לפתור מערכת משוואות כאשר הנעלמים הם [math]\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3, \alpha_4 }[/math]. הנה המערכת (אחרי שנעביר אגף):

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\ 1 &1 &-1 &1\\ -1 &1 &-1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \alpha_3\\ \alpha_4 \end{pmatrix} = 0 }[/math]

נדרג ונמשיך

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\ 1 &1 &-1 &1\\ -1 &1 &-1 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\ 0 &2 & 0 & 2\\ 0 &0 &-2 & -2 \end{pmatrix} \to \\ \begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 & -1\\ 0 &1 & 0 & 1\\ 0 &0 &-1 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &-1 &0 &0\\ 0 &1 & 0 & 1\\ 0 &0 &-1 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1\\ 0 &1 & 0 & 1\\ 0 &0 &-1 & -1 \end{pmatrix} }[/math] קיבלנו כי התנאי היחידי המתקיים בין [math]\displaystyle{ \alpha_3,\alpha_4 }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \alpha_3= -\alpha_4 }[/math]. ובמקרה שהתנאי מתקיים יש פתרון למערכת המשוואות.

לכן התשובה הסופית

[math]\displaystyle{ W_1\cap W_2 = \{\alpha\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} -\alpha\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} :\, \alpha \in \mathbb{R} \} }[/math]

דוגמא 3

[math]\displaystyle{ V=\mathbb{C}^{n\times n} }[/math]  מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] . יהיו [math]\displaystyle{ W_1 }[/math] תת מרחב של המטריצות הסימטריות ו [math]\displaystyle{ W_2 }[/math]  תת המרחב של המטריצות האנטי סימטריות אזי:

[math]\displaystyle{ W_1\cap W_2=\{A:A^{t}=A\land A^{t}=-A\}=\{0\} }[/math]

הוכחה: ישירות- אם [math]\displaystyle{ A }[/math] גם סימטרית וגם אנטי סימטרית אזי מתקיים [math]\displaystyle{ -A=A^t=A }[/math]. נעביר אגף ונקבל [math]\displaystyle{ 2A=0 }[/math]. נחלק ב 2 ונקבל כי [math]\displaystyle{ A=0 }[/math]

סכום תתי מרחבים

יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] . יהיו [math]\displaystyle{ W_1,W_2\leq V }[/math] תתי מרחבים. נרצה למצוא את התת מרחב הכי "קטן" שמכיל את [math]\displaystyle{ W_1,W_2 }[/math]. נסמן תת מרחב זה ב [math]\displaystyle{ W }[/math] אז פורמאלית, נרצה כי כל תת מרחב [math]\displaystyle{ U }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ W_1,W_2\subseteq U }[/math] בהכרח יקיים גם [math]\displaystyle{ W\subseteq U }[/math].

יש שיחשבו שהתת מרחב הכי קטן שמכיל את [math]\displaystyle{ W_1,W_2 }[/math] הוא האיחוד את [math]\displaystyle{ W_1,\cup W_2 }[/math]. אבל התשובה שגויה כיוון שהאיחוד לא בהכרח תת מרחב כפי שנוכיח בתרגיל הבא.

תרגיל: יהי [math]\displaystyle{ V }[/math] מרחב וקטורי מעל [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] . יהיו [math]\displaystyle{ W_1,W_2\leq V }[/math] תתי מרחבים. אזי

[math]\displaystyle{ W_1,\cup W_2\leq V }[/math] אמ"מ ([math]\displaystyle{ W_1\subseteq W_2 \lor W_2\subseteq W_1 }[/math]) כלומר אחד מתת המרחב מוכל בשני.

הוכחה: כיוון ראשון ([math]\displaystyle{ \Leftarrow }[/math]): פשוט, אם אחד מוכל בשני אזי האיחוד שווה ל [math]\displaystyle{ W_i }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ i }[/math] שווה ל-1 או 2, תלוי במקרה) שהוא תת מרחב.

כיוון שני ([math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]): נניח בשלילה כי ([math]\displaystyle{ W_1\not\subseteq W_2 \land W_2\not\subseteq W_1 }[/math]) אזי קיימים [math]\displaystyle{ w_1\in W_1\setminus W_2 \ }[/math] וגם [math]\displaystyle{ w_2\in W_2\setminus W_1 \ }[/math]. שני הוקטורים [math]\displaystyle{ w_1,w_2 }[/math] נמצאים באיחוד ולכן גם הסכום שלהם [math]\displaystyle{ w_1+w_2 }[/math] נמצא באיחוד כי נתון שהוא תת מרחב. כעת מהגדרת האיחוד [math]\displaystyle{ w_1+w_2 }[/math] נמצא ב [math]\displaystyle{ W_i }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ i }[/math] שווה ל-1 או 2, תלוי במקרה). בה"כ נניח [math]\displaystyle{ w_1+w_2\in W_1 }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ w_1\in W_1 }[/math] אזי חיסור שני הוקטורים [math]\displaystyle{ (w_1+w_2)-w_1 \in W_1 }[/math] נמצא גם כן ב [math]\displaystyle{ W_1 }[/math] אבל החיסור שווה ל [math]\displaystyle{ w_2 }[/math]. סתירה לכך ש [math]\displaystyle{ w_2 \not\in W_1 }[/math]