הבדלים בין גרסאות בדף "88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8"
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←דוגמאות ודוגמאות נגדיות) |
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←דוגמאות) |
||
שורה 48: | שורה 48: | ||
6. יהי <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math> מימד <math>n</math> ויהי <math>B</math> בסיס אזי הפונקציה <math>T:V\to \mathbb{F}^n</math> | 6. יהי <math>V</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math> מימד <math>n</math> ויהי <math>B</math> בסיס אזי הפונקציה <math>T:V\to \mathbb{F}^n</math> | ||
המוגדרת <math>v\mapsto [v]_B</math> היא ה"ל. | המוגדרת <math>v\mapsto [v]_B</math> היא ה"ל. | ||
+ | |||
+ | == תרגיל == | ||
+ | יהיו <math>T,S:V\to W</math> שתי ה"ל. <math>B=\{v_{1},\dots,v_{n}\}</math> בסיס ל <math>V</math>. נניח <math>T(v_{i})=S(v_{i})</math> לכל <math>1\leq i\leq n</math> | ||
+ | |||
+ | הוכח: <math>T=S</math>. כלומר לכל <math>v\in V</math> מתקיים <math>T(v)=S(v)</math> | ||
+ | |||
+ | הוכחה: יהי <math>v\in V</math> אזי <math>v=\sum\limits _{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}</math> כי <math>B</math> בסיס ובפרט פורשת. | ||
+ | ואז | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | T(v)=T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) = \\ | ||
+ | = \alpha_{1}S(v_{1})+\alpha_{2}S(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}S(v_{n})=S(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=S(v) | ||
+ | </math> |
גרסה מ־15:04, 19 ביולי 2015
העתקות לינאריות (ה"ל)
הגדרה: יהיו שני מ"ו מעל אותו שדה . ה"ל היא פונקציה אם
(או באופן שקול: אם לכל מתקיים )
תכונות בסיסיות:
.1
.2
דוגמאות
1. יהיו שניהם מעל . תהא אזי העתקה המוגדרת היא ה"ל.
הוכחה: לכל מתקיים
2. שניהם מעל . אזי העתקה
המגודרת היא ה"ל.
הוכחה: לכל
3. שניהם מעל . אזי העתקה
המגודרת היא ה"ל.
הוכחה:
4. העתקת הזהות המוגדרת היא ה"ל.
5. העתקת האפס המוגדרת היא ה"ל.
6. יהי מ"ו מעל מימד ויהי בסיס אזי הפונקציה המוגדרת היא ה"ל.
תרגיל
יהיו שתי ה"ל. בסיס ל . נניח לכל
הוכח: . כלומר לכל מתקיים
הוכחה: יהי אזי כי בסיס ובפרט פורשת. ואז
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): T(v)=T(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha_{1}T(v_{1})+\alpha_{2}T(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}T(v_{n}) = \\ = \alpha_{1}S(v_{1})+\alpha_{2}S(v_{2})+\cdots+\alpha_{n}S(v_{n})=S(\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=S(v)