קוד:גבול היחס בין סינוס לפונקציה לינארית ב-0: הבדלים בין גרסאות בדף
מ (גרסה אחת יובאה) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
בחלק זה אנחנו הולכים להוכיח גבול מאוד חשוב שיעזור לנו בהמשך, גבול מהצורה $\frac00 $. | בחלק זה אנחנו הולכים להוכיח גבול מאוד חשוב שיעזור לנו בהמשך, גבול מהצורה $\frac00 $. | ||
\begin{ | \begin{thm} | ||
$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $ | $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $ | ||
\end{ | \end{thm} | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
זוהי פונקציה זוגית ולכן אפשר להסתכל רק על התחום $x>0$ . נסתכל על קשת מעגל היחידה עם זווית מרכזית של $x$ ונראה כי מתקיים $\sin(x) \leq x \leq \tan (x) \Rightarrow 1<\frac{x}{\sin x} < \frac{\tan x}{\sin x} =\frac{1}{\cos x} $ ומשום שהקצוות שואפים ל-1 כש- $x\to 0 $, ממשפט הסנדוויץ' נקבל שגם $\frac{x}{\sin x} $ שואף ל-1. המסקנה היא ש- $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{1}=1 $ | זוהי פונקציה זוגית ולכן אפשר להסתכל רק על התחום $x>0$ . נסתכל על קשת מעגל היחידה עם זווית מרכזית של $x$ ונראה כי מתקיים: | ||
$$\sin(x) \leq x \leq \tan (x) \Rightarrow 1<\frac{x}{\sin x} < \frac{\tan x}{\sin x} =\frac{1}{\cos x} $$ | |||
ומשום שהקצוות שואפים ל-1 כש- $x\to 0 $, ממשפט הסנדוויץ' נקבל שגם $\frac{x}{\sin x} $ שואף ל-1. המסקנה היא ש- $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{1}=1 $ | |||
\end{proof} | \end{proof} | ||
האמת, אי השיוויון הזה הוא ציורי וכשמראים אותו פשוט אומרים שזה נראה נכון בעין. כמובן שזוהי רמאות מתמטית מדרגה ראשונה, ועל כן גדי מהבלוג המתמטי הידוע "לא מדויק" כתב את הפוסט "הונאה מעבר לגבול". קריאה מומלצת למי שמרגיש מרומה, אך שימו לב כי זה עלול להיות קצת כבד, נסו לא להרתע. | |||
\begin{cor} | |||
$ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} $ | |||
\end{cor} | |||
\begin{proof} | |||
$$ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1-(1-2\sin^2(\frac{x}{2}))}{x^2}=\lim_{x\to 0} \frac12 \left ( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2 = \frac{1}{2} \left ( \lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} \right )^2=\frac{1}{2} $$ | |||
בהוכחה השתמשנו בזהות $ \cos(\alpha)=1-2\sin^2\left( \frac{\alpha}{2}\right) $ ובהצבה $t=\frac{x}{2}$ עם אריתמטיקה של גבולות. | |||
\end{proof} | |||
שני הגבולות האלו הם גבולות חשובים שיהיו שימושיים מאוד בהמשך הקורס. | |||
גרסה מ־20:57, 30 באוגוסט 2015
בחלק זה אנחנו הולכים להוכיח גבול מאוד חשוב שיעזור לנו בהמשך, גבול מהצורה $\frac00 $.
\begin{thm} $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $ \end{thm}
\begin{proof} זוהי פונקציה זוגית ולכן אפשר להסתכל רק על התחום $x>0$ . נסתכל על קשת מעגל היחידה עם זווית מרכזית של $x$ ונראה כי מתקיים: $$\sin(x) \leq x \leq \tan (x) \Rightarrow 1<\frac{x}{\sin x} < \frac{\tan x}{\sin x} =\frac{1}{\cos x} $$ ומשום שהקצוות שואפים ל-1 כש- $x\to 0 $, ממשפט הסנדוויץ' נקבל שגם $\frac{x}{\sin x} $ שואף ל-1. המסקנה היא ש- $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{1}=1 $ \end{proof}
האמת, אי השיוויון הזה הוא ציורי וכשמראים אותו פשוט אומרים שזה נראה נכון בעין. כמובן שזוהי רמאות מתמטית מדרגה ראשונה, ועל כן גדי מהבלוג המתמטי הידוע "לא מדויק" כתב את הפוסט "הונאה מעבר לגבול". קריאה מומלצת למי שמרגיש מרומה, אך שימו לב כי זה עלול להיות קצת כבד, נסו לא להרתע.
\begin{cor} $ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} $ \end{cor} \begin{proof} $$ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1-(1-2\sin^2(\frac{x}{2}))}{x^2}=\lim_{x\to 0} \frac12 \left ( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2 = \frac{1}{2} \left ( \lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} \right )^2=\frac{1}{2} $$ בהוכחה השתמשנו בזהות $ \cos(\alpha)=1-2\sin^2\left( \frac{\alpha}{2}\right) $ ובהצבה $t=\frac{x}{2}$ עם אריתמטיקה של גבולות. \end{proof}
שני הגבולות האלו הם גבולות חשובים שיהיו שימושיים מאוד בהמשך הקורס.