89-214 סמסטר א' תשעא/תקצירים: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה מ־20:09, 12 באוקטובר 2010

כאמור בדף הקורס, התוכנית מכסה ארבעה נושאים.

מבוא לתורת המספרים האלמנטרית (שעור אחד)
חבורות (שמונה שעורים)
חוגים (שלושה שעורים)
שדות (שעור אחד)

בהמשך יוצגו כאן תקצירי ההרצאות.

חזרה ל89-214 סמסטר א' תשעא

הרצאה ראשונה

מבוא לתורת המספרים

הנחת המוצא היא שאתם מכירים את התכונות היסודיות של המספרים השלמים (תכונות של החיבור והכפל, של הקבועים 0 ו-1, ושל יחס הסדר). תרגיל: איך אפשר להגדיר את הקבועים ואת יחס הסדר, אם נתונים רק החיבור והכפל?

הגדרנו את יחס החלוקה (שהוא יחס סדר חלש על אוסף הזוגות [math]\displaystyle{ \ \pm n }[/math]), ואת המחלק המשותף המקסימלי (המחלק המשותף שהוא הגדול ביותר מכל המחלקים המשותפים, לפי היחס הרגיל), ואז הוכחנו שרשרת של טענות:

1. אפשר לבצע חילוק עם שארית ("אוקלידיות");

2. המחלק המשותף המקסימלי של a ו- b הוא צירוף שלם שלהם.

3. אם [math]\displaystyle{ \ a|bc }[/math] ו- a זר ל-b, אז [math]\displaystyle{ \ a|c }[/math].

הגדרנו מספר אי-פריק (לא ניתן לפרק באופן לא-טריוויאלי) ומספר ראשוני (אם הוא מחלק מכפלה אז הוא מחלק את אחד הגורמים), והבחנו שכל ראשוני הוא אי-פריק (זה קל). כעת אפשר להוכיח

4. כל שלם אי-פריק הוא ראשוני (כלומר, במספרים השלמים, "ראשוני" ו"אי-פריק" הם בעצם אותו מושג), ואז

5. המשפט היסודי של האריתמטיקה: לכל מספר שלם יש פירוק *יחיד* לגורמים אי-פריקים.

השרשרת הזו תופיע באופן כללי בהרבה בפרק השלישי של הקורס, כאשר נעסוק בתחומי שלמות (שהם סוג מיוחד של חוגים קומוטטיביים (שהם סוג מיוחד של חוגים)).

תרגיל. בכתה הגדרנו מחלק משותף מקסימלי לגבי יחס הסדר הרגיל, ואמרנו שלו היינו מגדירים לפי יחס החלוקה היינו מקבלים אותו הדבר. הוכיחו טענה זו. כלומר, הראו שכל מחלק משותף של a ו-b מחלק את המחלק המשותף המקסימלי.

@@ שורה 9: / שורה 9: @@
 * חזרה ל[[89-214 סמסטר א' תשעא]]
+== הרצאה ראשונה==
+'''מבוא לתורת המספרים'''
+הנחת המוצא היא שאתם מכירים את התכונות היסודיות של המספרים השלמים (תכונות של החיבור והכפל, של הקבועים 0 ו-1, ושל יחס הסדר). '''תרגיל''': איך אפשר להגדיר את הקבועים ואת יחס הסדר, אם נתונים רק החיבור והכפל?
+הגדרנו את יחס החלוקה (שהוא יחס סדר חלש על אוסף הזוגות <math>\ \pm n</math>), ואת המחלק המשותף המקסימלי (המחלק המשותף שהוא הגדול ביותר מכל המחלקים המשותפים, לפי היחס הרגיל), ואז הוכחנו שרשרת של טענות:
+. אפשר לבצע חילוק עם שארית ("אוקלידיות");
+. המחלק המשותף המקסימלי של a ו- b הוא צירוף שלם שלהם.
+. אם <math>\ a|bc</math> ו- a זר ל-b, אז <math>\ a|c</math>.
+הגדרנו מספר אי-פריק (לא ניתן לפרק באופן לא-טריוויאלי) ומספר ראשוני (אם הוא מחלק מכפלה אז הוא מחלק את אחד הגורמים), והבחנו שכל ראשוני הוא אי-פריק (זה קל). כעת אפשר להוכיח
+. כל שלם אי-פריק הוא ראשוני (כלומר, במספרים השלמים, "ראשוני" ו"אי-פריק" הם בעצם אותו מושג), ואז
+. המשפט היסודי של האריתמטיקה: לכל מספר שלם יש פירוק *יחיד* לגורמים אי-פריקים.
+השרשרת הזו תופיע באופן כללי בהרבה בפרק השלישי של הקורס, כאשר נעסוק בתחומי שלמות (שהם סוג מיוחד של חוגים קומוטטיביים (שהם סוג מיוחד של חוגים)).
+'''תרגיל'''. בכתה הגדרנו מחלק משותף מקסימלי לגבי יחס הסדר הרגיל, ואמרנו שלו היינו מגדירים לפי יחס החלוקה היינו מקבלים אותו הדבר. הוכיחו טענה זו. כלומר, הראו שכל מחלק משותף של a ו-b מחלק את המחלק המשותף המקסימלי.