משפט קנטור על רציפות במידה שווה: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־20:06, 17 באוגוסט 2016

משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש

פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש.

הוכחה

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה על קטע סגור וסופי [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] . נניח בשלילה שהיא לא-רציפה שם במ"ש. לכן קיים [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] , כך שלכל [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] יש שתי נקודות במרחק קטן מדלתא כך שהפרש התמונות שלהן גדול או שווה לאפסילון. ניתן אם כך לבנות סדרה של זוגות של נקודות

[math]\displaystyle{ x_n,y_n }[/math]

כך שמתקיים

[math]\displaystyle{ x_n-y_n\to 0 }[/math]

אבל

[math]\displaystyle{ \Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\ge\epsilon }[/math]

לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרות, יש ל- [math]\displaystyle{ x_n }[/math] תת-סדרה מתכנסת [math]\displaystyle{ x_{n_k} }[/math] (כיון שהקטע סופי, הסדרה חסומה).

בנוסף, לתת הסדרה [math]\displaystyle{ y_{n_k} }[/math] יש תת-סדרה מתכנסת. אם כך, בנינו זוג סדרות מתכנסות המקיימות את התנאים:

[math]\displaystyle{ x'_n-y'_n\to 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \Big|f(x'_n)-f(y'_n)\Big|\ge\epsilon }[/math]

אבל כיון שזהו קטע סגור, נקודת הגבול של הסדרות המתכנסות שייכת לקטע (נקודת הגבול בינהן זהה כי המרחק בינהן שואף ל-0). לכן, לפי רציפות,

[math]\displaystyle{ \lim f(x'_n)=\lim f(y'_n) }[/math]

בסתירה. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 ==משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש==
-פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש
+פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש.
 ==הוכחה==
-תהי f רציפה על קטע סגור וסופי <math>[a,b]</math>. נניח בשלילה שהיא '''לא''' רציפה שם במ"ש. לכן קיים אפסילון גדול מאפס, כך שלכל דלתא גדול מאפס, יש שתי נקודות במרחק קטן מדלתא כך שהפרש התמונות שלהן גדול או שווה לאפסילון. ניתן אם כך לבנות סדרה של זוגות של נקודות
+תהי <math>f</math> רציפה על קטע סגור וסופי <math>[a,b]</math> . נניח בשלילה שהיא '''לא'''-רציפה שם במ"ש. לכן קיים <math>\epsilon>0</math> , כך שלכל <math>\delta>0</math> יש שתי נקודות במרחק קטן מדלתא כך שהפרש התמונות שלהן גדול או שווה לאפסילון. ניתן אם כך לבנות סדרה של זוגות של נקודות
+:<math>x_n,y_n</math>
-::<math>x_n,y_n</math>
 כך שמתקיים
+:<math>x_n-y_n\to 0</math>
-::<math>x_n-y_n\rightarrow 0</math>
 אבל
+:<math>\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\ge\epsilon</math>
+לפי משפט [[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס|בולצאנו-ויירשטראס לסדרות]], יש ל- <math>x_n</math> תת-סדרה מתכנסת <math>x_{n_k}</math> (כיון שהקטע סופי, הסדרה חסומה).
-::<math>|f(x_n)-f(y_n)|\geq \epsilon</math>
+בנוסף, לתת הסדרה <math>y_{n_k}</math> יש תת-סדרה מתכנסת. אם כך, בנינו זוג סדרות '''מתכנסות''' המקיימות את התנאים:
+:<math>x'_n-y'_n\to 0</math>
+:<math>\Big|f(x'_n)-f(y'_n)\Big|\ge\epsilon</math>
-לפי משפט [[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס|בולצאנו-ויירשטראס לסדרות]], יש ל<math>x_n</math> תת סדרה מתכנסת <math>x_{n_k}</math> (כיוון שהקטע סופי, הסדרה חסומה).
+אבל '''כיון שזהו קטע סגור''', נקודת הגבול של הסדרות המתכנסות שייכת לקטע (נקודת הגבול בינהן זהה כי המרחק בינהן שואף ל-0). לכן, לפי רציפות,
+:<math>\lim f(x'_n)=\lim f(y'_n)</math>
-בנוסף, לתת הסדרה <math>y_{n_k}</math> יש תת סדרה מתכנסת. אם כך, בנינו זוג סדרות '''מתכנסות''' המקיימות את התנאים:
+בסתירה. <math>\blacksquare</math>
-::<math>x'_n-y'_n\rightarrow 0</math>
-::<math>|f(x'_n)-f(y'_n)|\geq \epsilon</math>
-אבל '''כיוון שזה קטע סגור''', נקודת הגבול של הסדרות המתכנסות שייכת לקטע (נקודת הגבול בינהן זהה כי המרחק בינהן שואף לאפס). לכן, לפי רציפות,
-::<math>\lim f(x'_n)=\lim f(y'_n)</math>
-בסתירה.
 [[קטגוריה:אינפי]]