הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים"
מתוך Math-Wiki
(←טורים) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | במשפטים הבאים, אלא אם | + | במשפטים הבאים, אלא אם צוין אחרת, נסמן: |
− | * <math>c</math> הוא קבוע. | + | *<math>c</math> הוא קבוע. |
− | * <math>f,g</math> פונקציות. | + | *<math>f,g</math> פונקציות. |
− | * הקטע הנתון הוא הקטע הסגור <math>[a,b]</math>. | + | *הקטע הנתון הוא הקטע הסגור <math>[a,b]</math> . |
− | * אם | + | *אם מצוין שלפונקציה יש תכונה מסוימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: "<math>f</math> חסומה" = "<math>f</math> חסומה ב- <math>[a,b]</math>"). |
− | * <math>P</math> היא חלוקה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> של הקטע הנתון כך ש-<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. | + | *<math>P</math> היא חלוקה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> של הקטע הנתון כך ש- <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> . |
− | :* <math>Q</math> היא העדנה של <math>P</math>. | + | :*<math>Q</math> היא העדנה של <math>P</math> . |
− | :* <math>P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}</math> היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה <math>P</math> כך ש-<math>\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k]</math> ו-<math>\ | + | :*<math>P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}</math> היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה <math>P</math> כך ש- <math>\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k]</math> ו- <math>\forall2\le k\le n:\ c_{k-1}\ne c_k</math> . |
=אינטגרלים= | =אינטגרלים= | ||
− | * אם <math>F | + | *אם <math>F,G</math> קדומות ל- <math>f</math> בנקודה כלשהי אז קיים <math>c</math> כך ש- <math>F(x)=G(x)+c</math> . |
− | * אם <math>f</math> חסומה ב-<math>[a,b]</math> אזי <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>. | + | *אם <math>f</math> חסומה ב- <math>[a,b]</math> אזי <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math> . |
− | * אם <math>|Q|=|P|+r</math> {{הערה|(כלומר, <math>Q</math> מתקבלת מ-<math>P</math> ע"י הוספת <math>r</math> נקודות)}} ו-<math>f</math> חסומה בקטע אזי <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> וכן <math>0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega</math>. | + | *אם <math>|Q|=|P|+r</math> {{הערה|(כלומר, <math>Q</math> מתקבלת מ- <math>P</math> ע"י הוספת <math>r</math> נקודות)}} ו- <math>f</math> חסומה בקטע אזי <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> וכן <math>0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega</math> . |
− | * לכל חלוקה <math>Q</math> של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של <math>P</math>), אם <math>f</math> חסומה בקטע אזי <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math>. | + | *לכל חלוקה <math>Q</math> של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של <math>P</math>), אם <math>f</math> חסומה בקטע אזי <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math> . |
− | * לכל <math>f</math> אינטגרבילית מתקיים <math>\underline\ | + | *לכל <math>f</math> אינטגרבילית מתקיים <math>\underline{\int\limits_a^b}f\le\overline{\int\limits_a^b}f</math> . |
− | * תהי <math>f</math> חסומה. אזי <math>\underline\ | + | *תהי <math>f</math> חסומה. אזי <math>\underline{\int\limits_a^b}f=\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math> וגם <math>\overline{\int\limits_a^b}f=\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)</math> . |
− | * נניח | + | *נניח כי <math>f</math> חסומה. <math>f</math> אינטגרבילית אם"ם <math>\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> . |
− | * נניח | + | *נניח כי <math>f</math> חסומה. <math>f</math> אינטגרבילית אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה <math>P</math> של <math>[a,b]</math> כך ש- <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math> . |
− | * אם <math>f</math> רציפה אז <math>f</math> אינטגרבילית. | + | *אם <math>f</math> רציפה אז <math>f</math> אינטגרבילית. |
− | :* {{הערה|הכללה:}} אם <math>f</math> רציפה וחסומה בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> אזי <math>f</math> אינטגרבילית. | + | :*{{הערה|הכללה:}} אם <math>f</math> רציפה וחסומה בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> אזי <math>f</math> אינטגרבילית. |
− | ::* {{הערה|הכללה להכללה:}} אם <math>f</math> רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי <math>f</math> אינטגרבילית. | + | ::*{{הערה|הכללה להכללה:}} אם <math>f</math> רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי <math>f</math> אינטגרבילית. |
− | * אם <math>f</math> מונוטונית אזי היא אינטגרבילית. | + | * אם <math>f</math> מונוטונית אזי היא אינטגרבילית. |
− | * נניח | + | * נניח כי <math>a<c<b</math> . אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>[a,b]</math> , ב- <math>[a,c]</math> וב- <math>[c,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> , ואם כן אז <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math> . |
− | :* {{הערה|הכללה:}} עבור <math>f</math> כנ"ל ו-<math>a=x_0,x_1,\dots,x_n=b</math> (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים <math>\int\limits_a^b f=\ | + | :*{{הערה|הכללה:}} עבור <math>f</math> כנ"ל ו- <math>a=x_0,x_1,\dots,x_n=b</math> (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים <math>\int\limits_a^b f=\sum\limits_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k}f</math> . |
− | * אם <math>f</math> חסומה אז <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'}\ S(f,P,P')</math> ו-<math>\overline S(f,P)=\sup_{P'}\ S(f,P,P')</math>. | + | *אם <math>f</math> חסומה אז <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math> . יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'}\ S(f,P,P')</math> ו- <math>\overline S(f,P)=\sup_{P'}\ S(f,P,P')</math> . |
− | * הגדרות האינטגרל לפי | + | *הגדרות האינטגרל לפי דארבו ולפי רימאן שקולות. |
− | * '''לינאריות:''' עבור <math>f,g</math> אינטגרביליות מתקיים <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b | + | *'''לינאריות:''' עבור <math>f,g</math> אינטגרביליות מתקיים <math>\int\limits_a^b[f+cg]=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math> . |
− | * '''מונוטוניות:''' אם <math>f,g</math> אינטגרביליות וכן <math>\forall x\in[a,b]: | + | *'''מונוטוניות:''' אם <math>f,g</math> אינטגרביליות וכן <math>\forall x\in[a,b]:f(x)\ge g(x)</math> אזי <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math> . |
− | :* '''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>f</math> אינטגרביליות ואי-שלילית אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>. | + | :*'''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>f</math> אינטגרביליות ואי-שלילית אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math> . |
− | * '''הכללה לאי- | + | *'''הכללה לאי-שוויון המשולש:''' אם <math>|f|</math> אינטגרבילית אז <math>f</math> אינטגרבילית ו- <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math> . |
− | * אם <math>f</math> אינטגרבילית וחסומה אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>. | + | *אם <math>f</math> אינטגרבילית וחסומה אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> . |
− | :* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\forall x\in[a,b]: | + | :*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\forall x\in[a,b]:|f(x)|\le M</math> ו- <math>f</math> אינטגרבילית אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math> . |
− | ::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f=M(b-a)</math>. | + | ::*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f=M(b-a)</math> . |
− | * '''המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי:''' תהי <math>f</math> אינטגרבילית ותהי <math>F</math> כך ש-<math>\forall x\in[a,b]: | + | *'''המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי:''' תהי <math>f</math> אינטגרבילית ותהי <math>F</math> כך ש- <math>\forall x\in[a,b]:F(x):=\int\limits_a^x f</math> . אזי <math>F</math> רציפה וכן לכל נקודה <math>x_0</math> ב-<math>[a,b]</math> שבה <math>f</math> רציפה, <math>F</math> קדומה ל-<math>f</math> (כלומר, <math>F</math> גזירה ב- <math>x_0</math> כך ש- <math>F'(x_0)=f(x_0)</math>). |
− | * '''נוסחת ניוטון-לייבניץ:''' תהי <math>f</math> רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a)</math>. | + | *'''נוסחת ניוטון-לייבניץ:''' תהי <math>f</math> רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a)</math> . |
− | * לכל <math>f</math> רציפה יש פונקציה קדומה. | + | *לכל <math>f</math> רציפה יש פונקציה קדומה. |
− | * '''אינטגרציה בחלקים:''' נניח כי <math>f',g'</math> רציפות. אזי <math>\int f(x)g'(x) | + | *'''אינטגרציה בחלקים:''' נניח כי <math>f',g'</math> רציפות. אזי <math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math> . |
− | :* <math>\int\limits_a^b f\cdot g'=[f(x)g(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'\cdot g</math> | + | :*<math>\int\limits_a^b f\cdot g'=[f(x)g(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'\cdot g</math> |
− | * '''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x) | + | *'''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}</math>. |
− | :* <math>\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x)) | + | :*<math>\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))dg</math> |
− | * כל פונקציה | + | *כל פונקציה רציונאלית <math>\frac{p}{q}</math> כך ש- <math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים <math>\frac{A}{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k}</math> כאשר <math>A,B,C,x_0\in\R\ \and\ n,k\in\N</math> ול- <math>x^2+bx+c</math> אין שורשים ממשיים. |
− | * נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל-<math>f</math> אי-שלילית | + | *נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל- <math>f</math> אי-שלילית בקטע <math>[a,b]</math> סביב ציר ה- <math>x</math> הוא <math>\int\limits_a^b \pi f(x)^2dx</math> . |
− | * אם <math>f</math> רציפה אז הממוצע שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\ | + | *אם <math>f</math> רציפה אז הממוצע שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\frac{1}{b-a}\int\limits_a^b f</math> . |
− | * אם <math>f</math> גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2} | + | *אם <math>f</math> גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx</math> . |
− | * שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f</math> רציפה סביב ציר ה-<math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2} | + | *שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f</math> רציפה סביב ציר ה- <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx</math> . |
− | * '''קירוב האינטגרל בעזרת טורי טיילור:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת <math>n</math>-ית רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית היא <math>\int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!}</math> עבור <math>\min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\}</math> כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב <math>x_0</math>. | + | *'''קירוב האינטגרל בעזרת טורי טיילור:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת <math>n</math>-ית רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית היא <math>\int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!}</math> עבור <math>\min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\}</math> כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב <math>x_0</math> . |
− | * '''קירוב האינטגרל בשיטת המלבנים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\ | + | *'''קירוב האינטגרל בשיטת המלבנים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> . אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\sum\limits_{k=1}^n f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac{b-a}2Mh</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\big|f'(x)\big|</math> . |
− | * '''קירוב האינטגרל בשיטת הטרפזים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת | + | *'''קירוב האינטגרל בשיטת הטרפזים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת שניה רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac5{12}(b-a)Mh^2</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f''(x)\right|</math>. |
* '''קירוב האינטגרל בשיטת סימפסון:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> ו-<math>n</math> זוגי. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2} f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math> והשגיאה חסומה ע"י <math>\frac{b-a}{180}Mh^4</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math>. | * '''קירוב האינטגרל בשיטת סימפסון:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> ו-<math>n</math> זוגי. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2} f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math> והשגיאה חסומה ע"י <math>\frac{b-a}{180}Mh^4</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math>. | ||
* תהיינה <math>f,g</math> אינטגרביליות ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math>. | * תהיינה <math>f,g</math> אינטגרביליות ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math>. |
גרסה מ־20:53, 20 בספטמבר 2016
במשפטים הבאים, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
הוא קבוע.
פונקציות.
- הקטע הנתון הוא הקטע הסגור
.
- אם מצוין שלפונקציה יש תכונה מסוימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: "
חסומה" = "
חסומה ב-
").
היא חלוקה
של הקטע הנתון כך ש-
.
היא העדנה של
.
היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה
כך ש-
ו-
.
תוכן עניינים
אינטגרלים
- אם
קדומות ל-
בנקודה כלשהי אז קיים
כך ש-
.
- אם
חסומה ב-
אזי
.
- אם
(כלומר,
מתקבלת מ-
ע"י הוספת
נקודות) ו-
חסומה בקטע אזי
וכן
.
- לכל חלוקה
של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של
), אם
חסומה בקטע אזי
.
- לכל
אינטגרבילית מתקיים
.
- תהי
חסומה. אזי
וגם
.
- נניח כי
חסומה.
אינטגרבילית אם"ם
.
- נניח כי
חסומה.
אינטגרבילית אם"ם לכל
קיימת חלוקה
של
כך ש-
.
- אם
רציפה אז
אינטגרבילית.
- הכללה: אם
רציפה וחסומה בקטע הפתוח
אזי
אינטגרבילית.
- הכללה להכללה: אם
רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי
אינטגרבילית.
- הכללה להכללה: אם
- הכללה: אם
- אם
מונוטונית אזי היא אינטגרבילית.
- נניח כי
. אזי
אינטגרבילית ב-
, ב-
וב-
אם"ם היא אינטגרבילית ב-
, ואם כן אז
.
- הכללה: עבור
כנ"ל ו-
(הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים
.
- הכללה: עבור
- אם
חסומה אז
. יתר על כן,
ו-
.
- הגדרות האינטגרל לפי דארבו ולפי רימאן שקולות.
- לינאריות: עבור
אינטגרביליות מתקיים
.
- מונוטוניות: אם
אינטגרביליות וכן
אזי
.
- חיוביות: בפרט מתקיים שאם
אינטגרביליות ואי-שלילית אזי
.
- חיוביות: בפרט מתקיים שאם
- הכללה לאי-שוויון המשולש: אם
אינטגרבילית אז
אינטגרבילית ו-
.
- אם
אינטגרבילית וחסומה אז
.
- מקרה פרטי: אם
ו-
אינטגרבילית אז
.
- מקרה פרטי: אם
(פונקציה קבועה) אז
.
- מקרה פרטי: אם
- מקרה פרטי: אם
- המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי
אינטגרבילית ותהי
כך ש-
. אזי
רציפה וכן לכל נקודה
ב-
שבה
רציפה,
קדומה ל-
(כלומר,
גזירה ב-
כך ש-
).
- נוסחת ניוטון-לייבניץ: תהי
רציפה. אזי
.
- לכל
רציפה יש פונקציה קדומה.
- אינטגרציה בחלקים: נניח כי
רציפות. אזי
.
- שיטת ההצבה:
.
- כל פונקציה רציונאלית
כך ש-
ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים
כאשר
ול-
אין שורשים ממשיים.
- נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל-
אי-שלילית בקטע
סביב ציר ה-
הוא
.
- אם
רציפה אז הממוצע שלה בקטע
הוא
.
- אם
גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע
הוא
.
- שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של
רציפה סביב ציר ה-
בקטע
הוא
.
- קירוב האינטגרל בעזרת טורי טיילור: תהא
בעלת נגזרת
-ית רציפה. אזי
כאשר
הוא פיתוח טיילור מסדר
של
והשארית היא
עבור
כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב
.
- קירוב האינטגרל בשיטת המלבנים: תהא
בעלת נגזרת רציפה והחלוקה
היא חלוקה שווה כאשר לכל
מתקיים
. אזי
והשארית חסומה ע"י
כאשר
.
- קירוב האינטגרל בשיטת הטרפזים: תהא
בעלת נגזרת שניה רציפה והחלוקה
היא חלוקה שווה כאשר לכל
מתקיים
. אזי
והשארית חסומה ע"י
כאשר
.
- קירוב האינטגרל בשיטת סימפסון: תהא
בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה
היא חלוקה שווה כאשר לכל
מתקיים
ו-
זוגי. אזי
והשגיאה חסומה ע"י
כאשר
.
- תהיינה
אינטגרביליות ב-
. אזי
אינטגרבילית ב-
ומתקיים
.
- תהא
אינטגרבילית מקומית ב-
ויהי
. אזי
אינטגרבילית ב-
אם"ם
אינטגרבילית ב-
ואם כן
.
-
מונוטונית עולה ב-
. אזי
קיים אם"ם
ואם כן
.
-
אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-
. אזי
מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים
חסומים מלעיל, ואם לא אז
.
- מבחן ההשוואה: נניח ש-
אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-
וכן
. אם
מתכנס אז
מתכנס.
- מבחן ההשוואה הגבולי:
אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-
וכן
. אזי אם
מתכנס אז
מתכנס.
- מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
- המבחן האינטגרלי לטורים: תהא
אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב-
עבור
כלשהו. אזי
מתכנס אם"ם
מתכנס.
- בפרט מתקיים
.
- בפרט מתקיים
- תהא
מוגדרת ב-
.
קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע, כלומר לכל
קיים
כך שאם
אזי
.
- תהא
אינטגרבילית מקומית ב-
. אזי
מתכנס אם"ם
.
- תהא
אינטגרבילית מקומית ב-
. אם
אינטגרבילית בקטע אזי גם
אינטגרבילית בו.
- מבחן דיריכלה: תהא
רציפה ב-
ונניח שהאינטגרלים החלקיים
חסומים כאשר
. כמו כן תהא
מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב-
ו-
. אזי
מתכנס.
- סכימה בחלקים:
כאשר
.
- משפט דיריכלה לטורים: נניח שלטור
יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש-
סדרה מונוטונית כך ש-
. אזי
מתכנס.
- אם
אינטגרביליות ב-
אזי לכל
מתקיים
.
- עבור
ו-
אינטגרבילית מקומית ב-
,
אינטגרבילית בקטע אם"ם
אינטגרבילית ב-
, ואם כן
.
- תהי
מונוטונית ב-
. אזי
קיים אם"ם
חסומה ב-
.
- אם
אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-
אז
אינטגרבילית ב-
אם"ם האינטגרלים החלקיים
חסומים כאשר
.
- מבחן ההשוואה:
אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב-
וכן
. אם
מתכנס אזי
מתכנס.
- מבחן ההשוואה הגבולי:
אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-
וקיים
. אם
מתכנס אז
מתכנס.
- מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
- תהא
אינטגרבילית מקומית ב-
. אזי
מתכנס אם"ם
.
- תהא
אינטגרבילית מקומית ב-
. אם
מתכנס אז
מתכנס.
סדרות וטורים של פונקציות
התכנסות במ"ש
סדרות
-
במ"ש על
, כלומר
, אם"ם
.
- נניח כי
במ"ש ב-
, ועבור
כלשהו
רציפה ב-
לכל
. אזי
רציפה ב-
.
-
במ"ש ב-
וכל
אינטגרבילית בקטע. אזי
אינטגרבילית בקטע ומתקיים
.
-
היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-
, המתכנסות במ"ש ב-
לפונקציה
. כמו כן,
מתכנסת בנקודה אחת לפחות ב-
. אזי
מוגדרת ב-
ומתקיים
.
- סדרת פונקציות
מתכנסת במ"ש אם"ם היא מקיימת את תנאי קושי במ"ש, כלומר
.
- משפט דיני: נתון כי כל
רציפה בקטע סגור
והסדרות
עולות לכל
או יורדות לכל
. כמו כן,
נקודתית ו-
רציפה ב-
. אזי
במ"ש.
טורים
- טור פונקציות
מתכנס במ"ש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש, כלומר
.
- מבחן ה-M של ויירשטראס: נניח שכל
מוגדרת ב-
וחסומה שם, כלומר
עבור
כלשהו, וכן
מתכנס במובן הצר. אזי
מתכנס בהחלט במ"ש על
.
- נתון כי כל
רציפה ב-
וכן
במ"ש על
. אזי
רציפה ב-
.
-
במ"ש על
וכל
אינטגרבילית ב-
. אזי
אינטגרבילית בקטע ומתקיים
.
-
היא סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-
. הטור
מתכנס בנקודה אחת לפחות בקטע, וטור הנגזרות
מתכנס במ"ש על
. אזי
מתכנס במ"ש לפונקציה גזירה
כך ש-
.
טורי חזקות
- יהי
טור חזקות. רדיוס ההתכנסות
מקיים שאם הנקודה
מקיימת
אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם
הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב-
לכל
.
- יהי
טור חזקות עם רדיוס התכנסות
. אם קיים
במובן הרחב אזי
.
- יהי
טור חזקות עם רדיוס התכנסות
. אזי
היא פונקציה המוגדרת ב-
, כך שנגזרתה בקטע זה היא
.
- הכללה: בתנאים הללו,
גזירה אינסוף פעמים ו-
לכל
. יתרה מזאת, רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזורים הוא
.
- הכללה: בתנאים הללו,
- יהי
טור חזקות עם רדיוס התכנסות
. אזי לכל
מתקיים
, ז"א הטור הוא טור טיילור של
סביב
.
- יהי
טור חזקות עם רדיוס התכנסות
. אזי
אינטגרבילית ב-
ומתקיים לכל
בקטע
. רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרל הוא
.
- משפט היחידות לטורי חזקות: אם
לכל
אזי
.
- משפט אבל: נניח ש-
טור חזקות בעל רדיוס התכנסות
. אם
קיים אזי
קיים ושווה לו, ואם
קיים אזי
קיים ושווה לו.
השתנות חסומה
-
בעלת השתנות חסומה בקטע סגור. אזי
חסומה.
-
בעלת השתנות חסומה בקטע סגור אם"ם יש
מונוטוניות עולות בקטע כך ש-
.
- תהי
בעלת השתנות חסומה ב-
. אזי לכל
קיים
ולכל
קיים
.
- תהי
בעלת השתנות חסומה ב-
. אזי
אינטגרבילית ב-
.