משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים

במשפטים הבאים, אלא אם צוין אחרת, נסמן:

• [math]\displaystyle{ c }[/math] הוא קבוע.
• [math]\displaystyle{ f,g }[/math] פונקציות.
• הקטע הנתון הוא הקטע הסגור [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] .
• אם מצוין שלפונקציה יש תכונה מסוימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: "[math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה" = "[math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה ב- [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]").
• [math]\displaystyle{ P }[/math] היא חלוקה [math]\displaystyle{ \{x_0,x_1,\dots,x_n\} }[/math] של הקטע הנתון כך ש- [math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b }[/math] .

• [math]\displaystyle{ Q }[/math] היא העדנה של [math]\displaystyle{ P }[/math] .
• [math]\displaystyle{ P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\} }[/math] היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k] }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \forall2\le k\le n:\ c_{k-1}\ne c_k }[/math] .

אינטגרלים

• אם [math]\displaystyle{ F,G }[/math] קדומות ל- [math]\displaystyle{ f }[/math] בנקודה כלשהי אז קיים [math]\displaystyle{ c }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ F(x)=G(x)+c }[/math] .
• אם [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה ב- [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] אזי [math]\displaystyle{ m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a) }[/math] .
• אם [math]\displaystyle{ |Q|=|P|+r }[/math] (כלומר, [math]\displaystyle{ Q }[/math] מתקבלת מ- [math]\displaystyle{ P }[/math] ע"י הוספת [math]\displaystyle{ r }[/math] נקודות) ו- [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה בקטע אזי [math]\displaystyle{ 0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega }[/math] וכן [math]\displaystyle{ 0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega }[/math] .
• לכל חלוקה [math]\displaystyle{ Q }[/math] של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של [math]\displaystyle{ P }[/math]), אם [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה בקטע אזי [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)\le\overline S(f,Q) }[/math] .
• לכל [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית מתקיים [math]\displaystyle{ \underline{\int\limits_a^b}f\le\overline{\int\limits_a^b}f }[/math] .
• תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה. אזי [math]\displaystyle{ \underline{\int\limits_a^b}f=\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P) }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \overline{\int\limits_a^b}f=\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P) }[/math] .
• נניח כי [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה. [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית אם"ם [math]\displaystyle{ \lim\limits_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0 }[/math] .
• נניח כי [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה. [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית אם"ם לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיימת חלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \overline S(f,P)-\underline S(f,P)\lt \varepsilon }[/math] .
• אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה אז [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית.

• הכללה: אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה וחסומה בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית.

• הכללה להכללה: אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית.

• אם [math]\displaystyle{ f }[/math] מונוטונית אזי היא אינטגרבילית.
• נניח כי [math]\displaystyle{ a\lt c\lt b }[/math] . אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב- [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] , ב- [math]\displaystyle{ [a,c] }[/math] וב- [math]\displaystyle{ [c,b] }[/math] אם"ם היא אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] , ואם כן אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f }[/math] .

• הכללה: עבור [math]\displaystyle{ f }[/math] כנ"ל ו- [math]\displaystyle{ a=x_0,x_1,\dots,x_n=b }[/math] (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\sum\limits_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k}f }[/math] .

• אם [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה אז [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P) }[/math] . יתר על כן, [math]\displaystyle{ \underline S(f,P)=\inf_{P'}\ S(f,P,P') }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \overline S(f,P)=\sup_{P'}\ S(f,P,P') }[/math] .
• הגדרות האינטגרל לפי דארבו ולפי רימאן שקולות.
• לינאריות: עבור [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אינטגרביליות מתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b[f+cg]=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g }[/math] .
• מונוטוניות: אם [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אינטגרביליות וכן [math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:f(x)\ge g(x) }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g }[/math] .

• חיוביות: בפרט מתקיים שאם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרביליות ואי-שלילית אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\ge0 }[/math] .

• הכללה לאי-שוויון המשולש: אם [math]\displaystyle{ |f| }[/math] אינטגרבילית אז [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ו- [math]\displaystyle{ \left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f| }[/math] .
• אם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית וחסומה אז [math]\displaystyle{ m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a) }[/math] .

• מקרה פרטי: אם [math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:|f(x)|\le M }[/math] ו- [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית אז [math]\displaystyle{ \left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a) }[/math] .

• מקרה פרטי: אם [math]\displaystyle{ f(x)=M }[/math] (פונקציה קבועה) אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=M(b-a) }[/math] .

• המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ותהי [math]\displaystyle{ F }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:F(x):=\int\limits_a^x f }[/math] . אזי [math]\displaystyle{ F }[/math] רציפה וכן לכל נקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] שבה [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה, [math]\displaystyle{ F }[/math] קדומה ל-[math]\displaystyle{ f }[/math] (כלומר, [math]\displaystyle{ F }[/math] גזירה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ F'(x_0)=f(x_0) }[/math]).
• נוסחת ניוטון-לייבניץ: תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a) }[/math] .
• לכל [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה יש פונקציה קדומה.
• אינטגרציה בחלקים: נניח כי [math]\displaystyle{ f',g' }[/math] רציפות. אזי [math]\displaystyle{ \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx }[/math] .

• [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\cdot g'=[f(x)g(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'\cdot g }[/math]

• שיטת ההצבה: [math]\displaystyle{ \int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x)){\color{Gray}+c} }[/math].

• [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))dg }[/math]

• כל פונקציה רציונאלית [math]\displaystyle{ \frac{p}{q} }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \deg(p)\lt \deg(q) }[/math] ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים [math]\displaystyle{ \frac{A}{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ A,B,C,x_0\in\R\ \and\ n,k\in\N }[/math] ול- [math]\displaystyle{ x^2+bx+c }[/math] אין שורשים ממשיים.
• נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל- [math]\displaystyle{ f }[/math] אי-שלילית בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] סביב ציר ה- [math]\displaystyle{ x }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b \pi f(x)^2dx }[/math] .
• אם [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה אז הממוצע שלה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \frac{1}{b-a}\int\limits_a^b f }[/math] .
• אם [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx }[/math] .
• שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה סביב ציר ה- [math]\displaystyle{ x }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] הוא [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx }[/math] .
• קירוב האינטגרל בעזרת טורי טיילור: תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת נגזרת [math]\displaystyle{ n }[/math]-ית רציפה. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ P_n }[/math] הוא פיתוח טיילור מסדר [math]\displaystyle{ n }[/math] של [math]\displaystyle{ f }[/math] והשארית היא [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!} }[/math] עבור [math]\displaystyle{ \min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\} }[/math] כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] .
• קירוב האינטגרל בשיטת המלבנים: תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת נגזרת רציפה והחלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] היא חלוקה שווה כאשר לכל [math]\displaystyle{ k }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Delta x_k=h }[/math] . אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\approx h\sum\limits_{k=1}^n f(x_k) }[/math] והשארית חסומה ע"י [math]\displaystyle{ \frac{b-a}2Mh }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ M=\max_{x\in[a,b]}\big|f'(x)\big| }[/math] .
• קירוב האינטגרל בשיטת הטרפזים: תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת נגזרת שניה רציפה והחלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] היא חלוקה שווה כאשר לכל [math]\displaystyle{ k }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Delta x_k=h }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k) }[/math] והשארית חסומה ע"י [math]\displaystyle{ \frac5{12}(b-a)Mh^2 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ M=\max_{x\in[a,b]}\left|f''(x)\right| }[/math].
• קירוב האינטגרל בשיטת סימפסון: תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה [math]\displaystyle{ P }[/math] היא חלוקה שווה כאשר לכל [math]\displaystyle{ k }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Delta x_k=h }[/math] ו-[math]\displaystyle{ n }[/math] זוגי. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2} f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right) }[/math] והשגיאה חסומה ע"י [math]\displaystyle{ \frac{b-a}{180}Mh^4 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ M=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right| }[/math].
• תהיינה [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אינטגרביליות ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f+cg }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g }[/math].
• תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ b\gt a }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [b,\infty) }[/math] ואם כן [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f }[/math].
• [math]\displaystyle{ f }[/math] מונוטונית עולה ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x) }[/math] קיים אם"ם [math]\displaystyle{ \sup_{x\gt a}\ f(x)\lt \infty }[/math] ואם כן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x)=\sup_{x\gt a}\ f(x) }[/math].
• [math]\displaystyle{ f }[/math] אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^R f }[/math] חסומים מלעיל, ואם לא אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f=\infty }[/math].
• מבחן ההשוואה: נניח ש-[math]\displaystyle{ f,g }[/math] אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty g }[/math] מתכנס אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנס.
• מבחן ההשוואה הגבולי: [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb R }[/math]. אזי אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty g }[/math] מתכנס אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנס.

• מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.

• המבחן האינטגרלי לטורים: תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ [k,\infty) }[/math] עבור [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] כלשהו. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_k^\infty f }[/math] מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \sum_{n=k}^\infty f(n) }[/math] מתכנס.

• בפרט מתקיים [math]\displaystyle{ \sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n) }[/math].

• תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math]. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x) }[/math] קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע, כלומר לכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ x_0\gt a }[/math] כך שאם [math]\displaystyle{ x_2\gt x_1\gt x_0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ |f(x_2)-f(x_1)|\lt \varepsilon }[/math].
• תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f }[/math] מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0:\ \exists x_0\gt a:\ \forall x_2\gt x_1\gt x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|\lt \varepsilon }[/math].
• תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ |f| }[/math] אינטגרבילית בקטע אזי גם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בו.
• מבחן דיריכלה: תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] ונניח שהאינטגרלים החלקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] חסומים כאשר [math]\displaystyle{ b\to\infty }[/math]. כמו כן תהא [math]\displaystyle{ g }[/math] מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב-[math]\displaystyle{ [a,\infty) }[/math] ו-[math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}g(x)=0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f\cdot g }[/math] מתכנס.
• סכימה בחלקים: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n a_k }[/math].
• משפט דיריכלה לטורים: נניח שלטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^N a_n }[/math] יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש-[math]\displaystyle{ \{b_n\} }[/math] סדרה מונוטונית כך ש-[math]\displaystyle{ b_n\to0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_nb_n }[/math] מתכנס.
• אם [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אינטגרביליות ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] אזי לכל [math]\displaystyle{ c }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g }[/math].
• עבור [math]\displaystyle{ a\lt c\lt b }[/math] ו-[math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math], [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בקטע אם"ם [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ (a,c] }[/math], ואם כן [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_b^c f }[/math].
• תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] מונוטונית ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+}f(x) }[/math] קיים אם"ם [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math].
• אם [math]\displaystyle{ f }[/math] אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] אז [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] אם"ם האינטגרלים החלקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_c^b f }[/math] חסומים כאשר [math]\displaystyle{ c\to a^+ }[/math].
• מבחן ההשוואה: [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b g }[/math] מתכנס אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס.
• מבחן ההשוואה הגבולי: [math]\displaystyle{ f,g }[/math] אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] וקיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)} }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b g }[/math] מתכנס אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס.

• מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.

• תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס אם"ם [math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a\lt x_1\lt x_2\lt x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|\lt \varepsilon }[/math].
• תהא [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית מקומית ב-[math]\displaystyle{ (a,b] }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b |f| }[/math] מתכנס אז [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f }[/math] מתכנס.

סדרות וטורים של פונקציות

התכנסות במ"ש

סדרות

• [math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] במ"ש על [math]\displaystyle{ I }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n\gt n_0:\ \forall x\in I:\ |f(x)-f_n(x)|\lt \varepsilon }[/math], אם"ם [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}\ |f(x)-f_n(x)|=0 }[/math].
• נניח כי [math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] במ"ש ב-[math]\displaystyle{ I }[/math], ועבור [math]\displaystyle{ x_0\in I }[/math] כלשהו [math]\displaystyle{ f_n }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
• [math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וכל [math]\displaystyle{ f_n }[/math] אינטגרבילית בקטע. אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית בקטע ומתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n }[/math].
• [math]\displaystyle{ \{f_n\}_{n\in\mathbb N} }[/math] היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-[math]\displaystyle{ I }[/math], המתכנסות במ"ש ב-[math]\displaystyle{ I }[/math] לפונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math]. כמו כן, [math]\displaystyle{ \{f_n\} }[/math] מתכנסת בנקודה אחת לפחות ב-[math]\displaystyle{ I }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f=\lim_{n\to\infty} f_n }[/math] מוגדרת ב-[math]\displaystyle{ I }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ f'=g }[/math].
• סדרת פונקציות [math]\displaystyle{ \{f_n\} }[/math] מתכנסת במ"ש אם"ם היא מקיימת את תנאי קושי במ"ש, כלומר [math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n\gt m\gt n_0:\ \forall x\in I:\ |f_n(x)-f_m(x)|\lt \varepsilon }[/math].
• משפט דיני: נתון כי כל [math]\displaystyle{ f_n }[/math] רציפה בקטע סגור [math]\displaystyle{ I }[/math] והסדרות [math]\displaystyle{ \{f_n(x)\}_{n\in\mathbb N} }[/math] עולות לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] או יורדות לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math]. כמו כן, [math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] נקודתית ו-[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ I }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f_n\to f }[/math] במ"ש.

טורים

• טור פונקציות [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n }[/math] מתכנס במ"ש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש, כלומר [math]\displaystyle{ \forall\varepsilon\gt 0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n\gt m\gt n_0:\ \forall x\in I:\ \sum_{k=m}^n f_k(x)\lt \varepsilon }[/math].
• מבחן ה-M של ויירשטראס: נניח שכל [math]\displaystyle{ f_n }[/math] מוגדרת ב-[math]\displaystyle{ I }[/math] וחסומה שם, כלומר [math]\displaystyle{ \forall x\in I:\ |f_n(x)|\le M_n }[/math] עבור [math]\displaystyle{ M_n }[/math] כלשהו, וכן [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty M_n }[/math] מתכנס במובן הצר. אזי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n }[/math] מתכנס בהחלט במ"ש על [math]\displaystyle{ I }[/math].
• נתון כי כל [math]\displaystyle{ f_n }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ x_0\in I }[/math] וכן [math]\displaystyle{ S=\sum_{n=1}^\infty f_n }[/math] במ"ש על [math]\displaystyle{ I }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ S }[/math] רציפה ב-[math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
• [math]\displaystyle{ S=\sum_{n=1}^\infty f_n }[/math] במ"ש על [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וכל [math]\displaystyle{ f_n }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ S }[/math] אינטגרבילית בקטע ומתקיים [math]\displaystyle{ \int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f }[/math].
• [math]\displaystyle{ \{f_n\}_{n\in\mathbb N} }[/math] היא סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-[math]\displaystyle{ I }[/math]. הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n }[/math] מתכנס בנקודה אחת לפחות בקטע, וטור הנגזרות [math]\displaystyle{ s=\sum_{n=1}^\infty f_n' }[/math] מתכנס במ"ש על [math]\displaystyle{ I }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty f_n }[/math] מתכנס במ"ש לפונקציה גזירה [math]\displaystyle{ S }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ S'=s }[/math].

טורי חזקות

• יהי [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n }[/math] טור חזקות. רדיוס ההתכנסות [math]\displaystyle{ R=\frac1{\overline{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}} }[/math] מקיים שאם הנקודה [math]\displaystyle{ x }[/math] מקיימת [math]\displaystyle{ |x-x_0|\lt R }[/math] אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם [math]\displaystyle{ |x-x_0|\gt R }[/math] הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב-[math]\displaystyle{ [x_0-r,x_0+r] }[/math] לכל [math]\displaystyle{ 0\lt r\lt R }[/math].
• יהי [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n }[/math] טור חזקות עם רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ R }[/math]. אם קיים [math]\displaystyle{ S=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} }[/math] במובן הרחב אזי [math]\displaystyle{ S=R }[/math].
• יהי [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n }[/math] טור חזקות עם רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ R\gt 0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n }[/math] היא פונקציה המוגדרת ב-[math]\displaystyle{ (x_0-R,x_0+R) }[/math], כך שנגזרתה בקטע זה היא [math]\displaystyle{ f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n(x-x_0)^{n-1} }[/math].

• הכללה: בתנאים הללו, [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה אינסוף פעמים ו-[math]\displaystyle{ f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty\frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N\cup\{0\} }[/math]. יתרה מזאת, רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזורים הוא [math]\displaystyle{ R }[/math].

• יהי [math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n }[/math] טור חזקות עם רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ R\gt 0 }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N\cup\{0\} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} }[/math], ז"א הטור הוא טור טיילור של [math]\displaystyle{ f }[/math] סביב [math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
• יהי [math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n }[/math] טור חזקות עם רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ R\gt 0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ (x_0-R,x_0+R) }[/math] ומתקיים לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ \int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1} }[/math]. רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרל הוא [math]\displaystyle{ R }[/math].
• משפט היחידות לטורי חזקות: אם [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in I }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \forall n:\ a_n=b_n }[/math].
• משפט אבל: נניח ש-[math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n }[/math] טור חזקות בעל רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ R }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_nR^n }[/math] קיים אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0+R^-}f(x) }[/math] קיים ושווה לו, ואם [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n }[/math] קיים אזי [math]\displaystyle{ \lim_{x\to(x_0-R)^+}f(x) }[/math] קיים ושווה לו.

השתנות חסומה

• [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת השתנות חסומה בקטע סגור. אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] חסומה.
• [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת השתנות חסומה בקטע סגור אם"ם יש [math]\displaystyle{ g,h }[/math] מונוטוניות עולות בקטע כך ש-[math]\displaystyle{ f=g-h }[/math].
• תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת השתנות חסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ x_0\in[a,b) }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^+} f(x) }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ x_0\in(a,b] }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^-} f(x) }[/math].
• תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] בעלת השתנות חסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ f }[/math] אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].