הלמה של קנטור: הבדלים בין גרסאות בדף
אין תקציר עריכה |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| שורה 2: | שורה 2: | ||
==הלמה של קנטור== | ==הלמה של קנטור== | ||
תהי <math>I_n</math> סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה <math>I_1\supseteq I_2\supseteq | תהי <math>I_n</math> סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה <math>I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots</math>, כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי '''קיימת''' נקודה '''יחידה''' <math>c</math> הנמצאת בכל הקטעים. | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
נסמן <math>I_n=[a_n,b_n]</math>. לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי <math>a_n</math> מונוטונית עולה וחסומה על ידי <math>b_1</math>, ואילו <math>b_n</math> מונוטונית יורדת וחסומה על ידי <math>a_1</math>. | נסמן <math>I_n=[a_n,b_n]</math> . לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי <math>a_n</math> מונוטונית עולה וחסומה על-ידי <math>b_1</math> , ואילו <math>b_n</math> מונוטונית יורדת וחסומה על-ידי <math>a_1</math> . | ||
לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. | לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. כיון שאורך הקטעים שואף לאפס, <math>\lim |b_n-a_n|=0</math> ולכן גבול הסדרות זהה. נוכיח כי הנקודה | ||
:<math>c=\lim a_n=\lim b_n</math> | |||
מקיימת את הדרוש. | מקיימת את הדרוש. | ||
נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש <math>c\notin [a_k,b_k]</math>. לכן <math>c<a_k</math> או <math>c>b_k</math> | נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש- <math>c\notin[a_k,b_k]</math> . לכן <math>c<a_k</math> או <math>c>b_k</math> וכיון שאילו סדרות מונוטוניות, הגבול שלהן שונה מ- <math>c</math> בסתירה. (<math>\lim a_n\ge a_k>c</math> או <math>\lim b_n\le b_k<c</math>) | ||
לכן הנקודה c שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת <math>c\ | לכן הנקודה <math>c</math> שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת <math>c\ne d</math> השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות <math>|d-c|>0</math> בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס. | ||
[[קטגוריה:אינפי]] | [[קטגוריה:אינפי]] | ||
גרסה אחרונה מ־12:47, 4 בנובמבר 2016
הלמה של קנטור
תהי [math]\displaystyle{ I_n }[/math] סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה [math]\displaystyle{ I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots }[/math], כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי קיימת נקודה יחידה [math]\displaystyle{ c }[/math] הנמצאת בכל הקטעים.
הוכחה
נסמן [math]\displaystyle{ I_n=[a_n,b_n] }[/math] . לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית עולה וחסומה על-ידי [math]\displaystyle{ b_1 }[/math] , ואילו [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מונוטונית יורדת וחסומה על-ידי [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] .
לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. כיון שאורך הקטעים שואף לאפס, [math]\displaystyle{ \lim |b_n-a_n|=0 }[/math] ולכן גבול הסדרות זהה. נוכיח כי הנקודה
- [math]\displaystyle{ c=\lim a_n=\lim b_n }[/math]
מקיימת את הדרוש.
נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש- [math]\displaystyle{ c\notin[a_k,b_k] }[/math] . לכן [math]\displaystyle{ c\lt a_k }[/math] או [math]\displaystyle{ c\gt b_k }[/math] וכיון שאילו סדרות מונוטוניות, הגבול שלהן שונה מ- [math]\displaystyle{ c }[/math] בסתירה. ([math]\displaystyle{ \lim a_n\ge a_k\gt c }[/math] או [math]\displaystyle{ \lim b_n\le b_k\lt c }[/math])
לכן הנקודה [math]\displaystyle{ c }[/math] שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת [math]\displaystyle{ c\ne d }[/math] השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות [math]\displaystyle{ |d-c|\gt 0 }[/math] בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.