פתרון משוואה ממעלה 4

לפני שמתחילים

תמיד אפשר להניח שהמקדם של [math]\displaystyle{ x^4 }[/math] הוא [math]\displaystyle{ 1 }[/math] (אחרת פשוט נחלק בו).

תמיד אפשר להניח שהמקדם של [math]\displaystyle{ x^3 }[/math] הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math]. למה? נניח נתון הפולינום [math]\displaystyle{ x^4+ax^3+bx^2+c+d }[/math] אז נעשה הצבה [math]\displaystyle{ x=y-\frac{a}{4} }[/math] ונקבל פולינום [math]\displaystyle{ y^4+(*)y^2+\dots }[/math].

סך הכל נניח שאנחנו צריכים לפתור פולינום מהצורה [math]\displaystyle{ x^4+px^2+qx+r=0 }[/math].

דרך א

ננסה לפרק את הפולינום לגורמים ריבועיים [math]\displaystyle{ x^4+px^2+q+r=^{?} (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) }[/math]

נפתח ונשווה מקדמים ונקבל את המערכת: [math]\displaystyle{ \begin{cases} 0=a+c \\ p=b+d+ac \\ q=ad+bc \\ r=bd \end{cases} }[/math].

משלושת המשוואות הראשונות אפשר לקבל את [math]\displaystyle{ b,c,d }[/math] כביטוי של [math]\displaystyle{ a }[/math], ואז הצבה במשוואה הרביעית נותנת פולינום [math]\displaystyle{ a^6+2pa^4+(p^2-4r)a^2-q^2=0 }[/math] --- פולינום מדרגה 3 ב[math]\displaystyle{ a^2 }[/math] שאותו אנחנו כבר יודעים לפתור.

דרך ב

ננסה לעשות השלמה לריבוע, תוך שאנחנו מוסיפים משתנה [math]\displaystyle{ u }[/math]:

[math]\displaystyle{ x^4+px^2+qx+r=(x^2+\frac{p}{2}+u)^2-(\frac{p}{2})^2-u^2-pu-2ux^2+qx+r=0 }[/math]

נעביר אגפים [math]\displaystyle{ (x^2+\frac{p}{2}+u)^2=2ux^2-qx+(\frac{p}{2})^2+pu+u^2-r }[/math]

נעשה השלמה לריבוע גם לצד השני (כאשר המטרה שלנו היא להגיע למשוואה מהצורה [math]\displaystyle{ (*)^2=(#)^2 }[/math] וכך לקבל פולינום מדרגה קטנה יותר.)

[math]\displaystyle{ (x^2+\frac{p}{2}+u)^2=(\sqrt{2u}x-\frac{q}{2\sqrt{2u}})^2-\frac{q^2}{8u}-r+(\frac{p}{2})^2+pu+u^2 }[/math]

כדי שבאמת נקבל משוואה מהצורה [math]\displaystyle{ (*)^2=(#)^2 }[/math] נרצה ש [math]\displaystyle{ -\frac{q^2}{8u}-r+(\frac{p}{2})^2+pu+u^2=0 }[/math]

וזה פולינום מדרגה 3 ב [math]\displaystyle{ u }[/math] שאותו אנחנו כבר יודעים לפתור.