נקודת פיתול: הבדלים בין גרסאות בדף
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| שורה 13: | שורה 13: | ||
לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] מתקיים: | לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] מתקיים: | ||
:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\ | :<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math>. | ||
ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה <math>a</math> הנו | ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה <math>a</math> הנו | ||
:<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a)(x-a)\Big)=\ | :<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a)(x-a)\Big)=\dfrac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math> | ||
כיון שהנקודה <math>c</math> נמצאת בין <math>x</math> ו- <math>a</math> , קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן <math>a</math> הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> | כיון שהנקודה <math>c</math> נמצאת בין <math>x</math> ו- <math>a</math> , קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן <math>a</math> הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> | ||
גרסה אחרונה מ־06:19, 14 בפברואר 2017
הגדרה
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה ממשית הגזירה בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] .
[math]\displaystyle{ a }[/math] נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של [math]\displaystyle{ a }[/math] הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- [math]\displaystyle{ a }[/math] , ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.
מציאת נקודות פיתול
נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן חשודות לפיתול, ויש לסווג אותן.
- משפט
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה פעמיים בסביבת [math]\displaystyle{ a }[/math] כך שמצד אחד של [math]\displaystyle{ a }[/math] הנגזרת השניה אי-שלילית ובצד השני אי-חיובית, אזי [math]\displaystyle{ a }[/math] נקודת פיתול של [math]\displaystyle{ f }[/math] .
- הוכחה
לפי טיילור מתקיים:
- [math]\displaystyle{ f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(c)}{2}(x-a)^2 }[/math].
ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה [math]\displaystyle{ a }[/math] הנו
- [math]\displaystyle{ f(x)-\Big(f(a)+f'(a)(x-a)\Big)=\dfrac{f''(c)}{2}(x-a)^2 }[/math]
כיון שהנקודה [math]\displaystyle{ c }[/math] נמצאת בין [math]\displaystyle{ x }[/math] ו- [math]\displaystyle{ a }[/math] , קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן [math]\displaystyle{ a }[/math] הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]