'''הגדרה:'''
יהיו תהיינה <math>f:A\to B, g:B\to C </math> שתי פונקציות אזי '''ההרכבה של <math>g</math> על <math>f</math>''' היא פונקציה <math>g \circ f:A\to C </math> המוגדרת על ידי הכלל <math>g \circ f(a)=g(f(a)) </math>
====תרגיל====
*נניח תהיינה <math>f:A\to B, g:B\to C </math> פונקציות כך ש- <math>g \circ f</math> חח"ע. הוכח/הפרך: g חח"ע, f חח"ע *נניח תהיינה <math>f:A\to B, g:B\to C </math> פונקציות כך ש- <math>g \circ f</math> על. הוכח/הפרך: g על, f על
'''פתרון:'''
נניח <math>g \circ f</math> על. נסמן <math>g \circ f : A\rightarrow BC</math> אזי לכל איבר <math>bc\in BC</math> קיים איבר <math>a\in A</math> כך ש <math>g(f(a))=bc</math>. לכן עבור g לכל b נקבל שלכל <math>c\in C</math> קיים <math>f(a)\in B</math> שנותן את b <math>c</math> תחת g , ולכן g על.
דוגמא נגדית ל f: נתבונן בשתי הפונקציות מהטבעיים לעצמם
<math>f(n)=n+1</math>;
<math>\forall n\not=neq 0 g(n)=n-1 , g(0)=0</math>ההרכבה היא הזהותו-<math>f</math> לא על, אין מקור ל-1.
(עוד דוגמא נביט בפונקציות מהטבעיים לטבעיים. <math>f(n)=2n</math>, והפונקציה g מוגדרת כ <math>g(2n)=n</math> ו <math>g(2n+1)=n</math>. ההרכבה הינה פונקצית הזהות שהיא בפרט על, אבל f אינה על כיוון שהאי זוגיים כלל לא נמצאים בתמונה שלה.)