הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 6 תשעז"
(←המשך קבוצות) |
|||
שורה 2: | שורה 2: | ||
=המשך קבוצות= | =המשך קבוצות= | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
== משלים == | == משלים == | ||
שורה 71: | שורה 34: | ||
<math>(x\notin B^c \land x\in A^c)\lor (x\notin A^c \land x\in B^c) \iff</math> | <math>(x\notin B^c \land x\in A^c)\lor (x\notin A^c \land x\in B^c) \iff</math> | ||
<math>(x\in A^c \land x\notin B^c)\lor (x\in B^c \land x\notin A^c) \iff x\in A^c \triangle B^c</math> | <math>(x\in A^c \land x\notin B^c)\lor (x\in B^c \land x\notin A^c) \iff x\in A^c \triangle B^c</math> | ||
+ | |||
+ | ===תרגיל=== | ||
+ | לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> נגדיר | ||
==קבוצת החזקה== | ==קבוצת החזקה== | ||
שורה 80: | שורה 46: | ||
האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה? הוכיחו זאת באינדוקציה. | האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה? הוכיחו זאת באינדוקציה. | ||
+ | |||
+ | ===תרגיל=== | ||
+ | הוכיחו או הפריכו: | ||
+ | |||
+ | א. <math>P(A)\cap P(B)=P(A\cap B)</math> | ||
+ | |||
+ | ב. <math>P(A)\cup P(B)=P(A\cup B)</math> | ||
+ | |||
+ | ====פתרון==== | ||
+ | |||
+ | א. הוכחה: <math>X\in P(A)\cap P(B) \iff X\subseteq A\land X\subseteq B\iff X\subseteq A\cap B\iff X\in P(A\cap B)</math>. | ||
+ | |||
+ | ב. הפרכה: ניקח <math>A=\{1\},B=\{2\}</math>. | ||
===תרגיל ממבחן=== | ===תרגיל ממבחן=== |
גרסה מ־18:42, 25 בנובמבר 2017
חזרה לדף מערכי התרגול.
תוכן עניינים
המשך קבוצות
משלים
הגדרה: תהי קבוצה , ונביט בתת קבוצה שלה . ניתן להגדיר את המשלים של כאוסף האיברים ב- שאינם ב- (כלומר ההפרש ), המסומן . לא ניתן לדבר על משלים אוניברסלי ללא מכיוון שאין קבוצה המכילה את כל הדברים בעולם (אחרת נגיע לסתירות כמו פרדוקס ראסל).
תכונות בסיסיות:
על המשלימים מתקיימים חוקי דה מורגן (הנובעים ישירות מחוקי דה מורגן בלוגיקה):
הערה: באופן כללי מתקיים
תרגיל
הוכיחו כי .
פתרון
נשתמש בהצגת ההפרש הסימטרי כאיחוד ההפרשים:
ומחילופיות "וגם" ו"או":
תרגיל
לכל נגדיר
קבוצת החזקה
הגדרה: תהי קבוצה . נגדיר את קבוצת החזקה של בתור אוסף כל תת הקבוצות של . נסמן .
דוגמה: נבחר אזי .
האם אתם יכולים למנות כמה איברים יש בקבוצת החזקה? הוכיחו זאת באינדוקציה.
תרגיל
הוכיחו או הפריכו:
א.
ב.
פתרון
א. הוכחה: .
ב. הפרכה: ניקח .
תרגיל ממבחן
תהינה קבוצות. הוכיחו או הפריכו:
א. אם אזי
ב. אם אזי
ג. אם אזי
פתרון
א. הפרכה: . אזי ברור ש- איננה מוכלת בחיתוך אבל .
ב. נתון שלכל מתקיים . אזי
כעת, הצד הימני הוא טאוטולוגיה וניתן להסיר אותו. מכיוון שנתון ניתן להסיק בקלות ש-, כפי שרצינו.
דרך נוספת: נגדיר את להיות הקבוצה האוניברסאלית ואז צריך להוכיח כי וזה אכן נכון!
ג. נניח בשלילה ש-. מכיוון שהקבוצה הריקה שייכת לכל קבוצת חזקה, החיתוך אינו ריק. לכן לפי הנחת השלילה קיימת קבוצה לא ריקה השייכת לחיתוך . קבוצות החזקה הן אוסף תת הקבוצות, ולכן . מכיוון ש- אינה ריקה קיים בה איבר וקל לראות ש- ולכן מוכל בחיתוך, בסתירה לכך שהחיתוך ריק.