הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 12 תשעז"
(←פונקציות הפיכות) |
|||
שורה 65: | שורה 65: | ||
===פונקציות הפיכות=== | ===פונקציות הפיכות=== | ||
− | '''הערה:''' לכל פונקציה <math>f</math> מתקיים <math>f\circ id =f</math> וגם <math>id \circ f =f</math> | + | '''הערה:''' לכל פונקציה <math>f</math> מתקיים <math>f\circ \mathrm{id} =f</math> וגם <math>\mathrm{id} \circ f =f</math>. |
− | '''הגדרה:''' תהי <math>f</math> פונקציה <math>f:A\rightarrow B</math>. פונקציה <math>g:B\rightarrow A</math> תיקרא '''הפונקציה ההופכית ל-<math>f</math>''' אם <math>f\circ g = | + | '''הגדרה:''' תהי <math>f</math> פונקציה <math>f:A\rightarrow B</math>. פונקציה <math>g:B\rightarrow A</math> תיקרא '''הפונקציה ההופכית ל-<math>f</math>''' אם <math>f\circ g = \mathrm{id}_B</math> וגם <math>g\circ f = \mathrm{id}_A</math>. במקרה זה נסמן את <math>g</math> על ידי <math>f^{-1}</math>, ונאמר שהפונקציה <math>f</math> היא '''הפיכה'''. |
− | '''תרגיל | + | '''תרגיל''' (בהרצאה): |
− | + | הוכיחו כי פונקציה <math>f</math> הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל. | |
'''הוכחה:''' | '''הוכחה:''' | ||
− | אם f הפיכה, אזי <math>f\circ f^{-1} = | + | אם <math>f</math> הפיכה, אזי <math>f\circ f^{-1} = \mathrm{id}_B</math> וגם <math>f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_A</math>. מכיוון שפונקציית הזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-<math>f</math> חח"ע ועל לפי משפט קודם. |
− | אם f חח"ע ועל, אז נגדיר <math>g:B\to A</math> ע"י: עבור <math>a\in A </math> קיים (כי f על) | + | אם <math>f</math> חח"ע ועל, אז נגדיר <math>g:B\to A</math> ע"י: עבור <math>a\in A </math> קיים (כי <math>f</math> על) <math>b\in B</math> יחיד (כי <math>f</math> חח"ע) כך ש-<math>f(a)=b</math> . נגדיר <math>g(b):=a</math>. תרגיל: בדקו כי <math>g</math> היא ההופכית של <math>f</math>. |
− | <math>b\in B</math> כך ש <math>f(a)=b</math> . נגדיר <math>g(b):=a</math>. תרגיל: בדקו | + |
גרסה מ־16:15, 29 בדצמבר 2017
חזרה לדף מערכי התרגול.
תוכן עניינים
פונקציות
הגדרה: יהיו A,B קבוצות וR יחס בינהן. אזי:
- התחום של R הינו
- התמונה של R הינה
הערה: ישירות מהגדרה מתקיים כי
דוגמא:
אזי התחום הוא
והתמונה הינה
הגדרה:
- יחס R מ-A ל-B נקרא על אם
כלומר
- יחס R מ-A ל-B נקרא מלא אם
כלומר
- יחס R נקרא חד ערכי אם
כלומר אין איבר מ A שמתאים ל-2 איברים שונים מ B.
הגדרה:
יחס חד ערכי ומלא נקרא פונקציה; נסמן במקרה זה .
ובאופן כללי
.
(A נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה. ו B נקרא הטווח של הפונקציה)
פונקציה נקראת חד-חד ערכי אם בנוסף היחס ההפוך הוא חד ערכי.
כלומר:
חח"ע אמ"מ
אמ"מ
הגדרה:
תהא A קבוצה. פונקציית הזהות היא פונקציה המקיימת
. נהוג לסמנה:
פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.
למשל:
כאשר
( חח"ע ואינה על)
כאשר
( לא מוגדר כי
)
תרגיל
יהיו A ו-B קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכח שכל פונקציה מ-A ל-B הינה על אם"ם היא חח"ע
הוכחה:
נסמן . כאשר כל האיברים ב A שונים זה מזה וכנ"ל ל B
נניח חח"ע אזי
כיוון ש
ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן
על.
נניח על. נניח בשלילה ש
אינה חח"ע אזי
(כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום)
ואז
אינה על -סתירה.
הערה: הדבר אינו נכון אם A וB קבוצות אינסופיות. (מצאו דוגמא)
הרכבת פונקציות
הגדרה:
יהיו שתי פונקציות אזי ההרכבה של
על
היא פונקציה
המוגדרת על ידי הכלל
הערה: אם מתיחסים לפונקציות כאל יחסים - מקבלים את ההגדרה של הרכבת יחסים.
משפט:
- אם
חח"ע אזי f חח"ע.
- אם
על אזי g על.
פונקציות הפיכות
הערה: לכל פונקציה מתקיים
וגם
.
הגדרה: תהי פונקציה
. פונקציה
תיקרא הפונקציה ההופכית ל-
אם
וגם
. במקרה זה נסמן את
על ידי
, ונאמר שהפונקציה
היא הפיכה.
תרגיל (בהרצאה):
הוכיחו כי פונקציה הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל.
הוכחה:
אם הפיכה, אזי
וגם
. מכיוון שפונקציית הזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-
חח"ע ועל לפי משפט קודם.
אם חח"ע ועל, אז נגדיר
ע"י: עבור
קיים (כי
על)
יחיד (כי
חח"ע) כך ש-
. נגדיר
. תרגיל: בדקו כי
היא ההופכית של
.