הבדלים בין גרסאות בדף "תרגול 12 תשעז"
(←פונקציות הפיכות) |
|||
שורה 2: | שורה 2: | ||
==פונקציות== | ==פונקציות== | ||
− | '''הגדרה:''' יהיו A,B קבוצות | + | '''הגדרה:''' יהיו <math>A,B</math> קבוצות ו-<math>R</math> יחס בינהן. אזי: |
− | *התחום של R הינו <math>dom(R)=\{a\in A|\exists b\in B | + | *התחום של R הינו <math>\mathrm{dom}(R)=\{a\in A|\exists b\in B,(a,b)\in R\}=\{(*,\;),(*,\;)\dots \}</math> |
− | *התמונה של R הינה <math>im(R)=\{b\in B|\exists a\in A | + | *התמונה של R הינה <math>\mathrm{im}(R)=\{b\in B|\exists a\in A,(a,b)\in R\}=\{(\;,*),(\; ,*)\dots \}</math> |
− | '''הערה''': ישירות מהגדרה מתקיים כי <math>dom(R)\subseteq A, | + | '''הערה''': ישירות מהגדרה מתקיים כי <math>\mathrm{dom}(R)\subseteq A, \mathrm{im}(R)\subseteq B</math>. |
− | ''' | + | '''דוגמה:''' |
− | *<math>R=\{(1,a),(2,b),(3,a),(a,1)\}</math> אזי התחום הוא <math>dom(R)=\{a,1,2,3\}</math> והתמונה הינה <math>im(R)=\{1,a,b\}</math> | + | *<math>R=\{(1,a),(2,b),(3,a),(a,1)\}</math> אזי התחום הוא <math>\mathrm{dom}(R)=\{a,1,2,3\}</math> והתמונה הינה <math>\mathrm{im}(R)=\{1,a,b\}</math>. |
'''הגדרה:''' | '''הגדרה:''' | ||
− | *יחס R מ-A ל-B נקרא '''על''' אם <math>\forall b\in B \exists a\in A:(a,b)\in R</math> כלומר <math>im(R)=B</math> | + | *יחס <math>R</math> מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> נקרא '''על''' אם <math>\forall b\in B \exists a\in A:(a,b)\in R</math> כלומר <math>\mathrm{im}(R)=B</math>. |
− | *יחס R מ-A ל-B נקרא '''מלא''' אם <math>\forall a\in A \exists b\in B:(a,b)\in R</math> כלומר <math>dom(R)=A</math> | + | *יחס <math>R</math> מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> נקרא '''מלא''' אם <math>\forall a\in A \exists b\in B:(a,b)\in R</math> כלומר <math>\mathrm{dom}(R)=A</math> |
− | *יחס R נקרא '''חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b)</math> כלומר אין איבר מ A שמתאים | + | *יחס <math>R</math> נקרא '''חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b)</math> כלומר אין איבר מ-<math>A</math> שמתאים לשני איברים שונים מ-<math>B</math>. |
שורה 21: | שורה 21: | ||
יחס חד ערכי ומלא נקרא '''פונקציה'''; נסמן במקרה זה <math>(a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a)</math>. | יחס חד ערכי ומלא נקרא '''פונקציה'''; נסמן במקרה זה <math>(a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a)</math>. | ||
ובאופן כללי <math>f:A\to B \;\; , a \mapsto f(a)</math>. | ובאופן כללי <math>f:A\to B \;\; , a \mapsto f(a)</math>. | ||
− | (A נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה | + | (<math>A</math> נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה ו-<math>B</math> נקרא הטווח של הפונקציה.) |
− | פונקציה נקראת '''חד-חד''' | + | פונקציה נקראת '''חד-חד ערכית''' אם בנוסף היחס ההפוך הוא חד ערכי. |
כלומר: | כלומר: | ||
− | <math>f</math> חח"ע אמ"מ <math>f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2</math> אמ"מ <math>x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)</math> | + | <math>f</math> חח"ע אמ"מ <math>f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2</math> אמ"מ <math>x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)</math>. |
'''הגדרה:''' | '''הגדרה:''' | ||
− | תהא A קבוצה. '''פונקציית הזהות''' היא פונקציה <math>f:A \to A</math> המקיימת <math>\forall a\in A: f(a)=a</math>. נהוג לסמנה | + | תהא <math>A</math> קבוצה. '''פונקציית הזהות''' היא פונקציה <math>f:A \to A</math> המקיימת <math>\forall a\in A: f(a)=a</math>. נהוג לסמנה <math>\mathrm{id}_A</math>. פונקציית הזהות היא חח"ע ועל. |
− | + | דוגמאות: | |
− | *<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p^2</math> ( חח"ע ואינה על) | + | *<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p^2</math> (חח"ע ואינה על). |
− | *<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> ( לא | + | *<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> (לא מוגדרת כי <math>f(1)=?</math>). |
===תרגיל=== | ===תרגיל=== | ||
− | יהיו A ו-B קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. | + | יהיו <math>A</math> ו-<math>B</math> קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכיחו שכל פונקציה מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> הינה על אם"ם היא חח"ע. |
'''הוכחה:''' | '''הוכחה:''' | ||
− | נסמן <math>f:A\to B, A=\{a_1,\dots a_n\},B=\{b_1,\dots b_n\} </math> . כאשר כל האיברים ב A שונים זה מזה וכנ"ל | + | נסמן <math>f:A\to B, A=\{a_1,\dots, a_n\},B=\{b_1,\dots, b_n\} </math> . כאשר כל האיברים ב-<math>A</math> שונים זה מזה וכנ"ל ב-<math>B</math>. |
− | נניח | + | נניח <math>f</math> חח"ע אזי <math>|\{f(a_1),\dots, f(a_n)\}|=n</math> |
− | כיוון ש <math>\{f(a_1),\dots f(a_n)\}\subseteq B </math> ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן <math>f </math> על. | + | כיוון ש-<math>\{f(a_1),\dots, f(a_n)\}\subseteq B </math> ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן <math>f </math> על. |
− | נניח <math>f </math> על. נניח בשלילה ש <math>f </math> אינה חח"ע אזי <math>|\{f(a_1),\dots f(a_n)\}|<n</math> (כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום) | + | נניח <math>f </math> על. נניח בשלילה ש-<math>f</math> אינה חח"ע אזי <math>|\{f(a_1),\dots, f(a_n)\}|<n</math> (כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום) ואז <math>f</math> אינה על, שזו סתירה. |
− | ואז <math>f </math> אינה על | + | |
− | הערה: הדבר אינו נכון אם | + | הערה: הדבר אינו נכון אם <math>A</math> ו-<math>B</math> קבוצות אינסופיות. נסו למצוא דוגמה. |
===הרכבת פונקציות=== | ===הרכבת פונקציות=== | ||
שורה 56: | שורה 55: | ||
'''הגדרה:''' | '''הגדרה:''' | ||
− | יהיו <math>f:A\to B, g:B\to C </math> שתי פונקציות אזי '''ההרכבה של <math>g</math> על <math>f</math>''' היא פונקציה <math>g \circ f:A\to C </math> המוגדרת על ידי הכלל <math>g \circ f(a)=g(f(a)) </math> | + | יהיו <math>f:A\to B, g:B\to C </math> שתי פונקציות אזי '''ההרכבה של <math>g</math> על <math>f</math>''' היא פונקציה <math>g \circ f:A\to C </math> המוגדרת על ידי הכלל <math>g \circ f(a)=g(f(a)) </math>. |
− | הערה: אם | + | הערה: אם מתייחסים לפונקציות כאל יחסים - מקבלים את ההגדרה של הרכבת יחסים. |
'''משפט:''' | '''משפט:''' | ||
− | *אם <math>g \circ f</math> חח"ע אזי f חח"ע. | + | *אם <math>g \circ f</math> חח"ע אזי <math>f</math> חח"ע. |
− | *אם <math>g \circ f</math> על אזי g על. | + | *אם <math>g \circ f</math> על אזי <math>g</math> על. |
+ | *מסקנה: אם <math>g \circ f</math> חח"ע ועל אזי <math>f</math> חח"ע ו-<math>g</math> על. | ||
===פונקציות הפיכות=== | ===פונקציות הפיכות=== |
גרסה מ־16:34, 29 בדצמבר 2017
חזרה לדף מערכי התרגול.
תוכן עניינים
פונקציות
הגדרה: יהיו קבוצות ו-
יחס בינהן. אזי:
- התחום של R הינו
- התמונה של R הינה
הערה: ישירות מהגדרה מתקיים כי .
דוגמה:
אזי התחום הוא
והתמונה הינה
.
הגדרה:
- יחס
מ-
ל-
נקרא על אם
כלומר
.
- יחס
מ-
ל-
נקרא מלא אם
כלומר
- יחס
נקרא חד ערכי אם
כלומר אין איבר מ-
שמתאים לשני איברים שונים מ-
.
הגדרה:
יחס חד ערכי ומלא נקרא פונקציה; נסמן במקרה זה .
ובאופן כללי
.
(
נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה ו-
נקרא הטווח של הפונקציה.)
פונקציה נקראת חד-חד ערכית אם בנוסף היחס ההפוך הוא חד ערכי.
כלומר:
חח"ע אמ"מ
אמ"מ
.
הגדרה:
תהא קבוצה. פונקציית הזהות היא פונקציה
המקיימת
. נהוג לסמנה
. פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.
דוגמאות:
כאשר
(חח"ע ואינה על).
כאשר
(לא מוגדרת כי
).
תרגיל
יהיו ו-
קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכיחו שכל פונקציה מ-
ל-
הינה על אם"ם היא חח"ע.
הוכחה:
נסמן . כאשר כל האיברים ב-
שונים זה מזה וכנ"ל ב-
.
נניח חח"ע אזי
כיוון ש-
ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן
על.
נניח על. נניח בשלילה ש-
אינה חח"ע אזי
(כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום) ואז
אינה על, שזו סתירה.
הערה: הדבר אינו נכון אם ו-
קבוצות אינסופיות. נסו למצוא דוגמה.
הרכבת פונקציות
הגדרה:
יהיו שתי פונקציות אזי ההרכבה של
על
היא פונקציה
המוגדרת על ידי הכלל
.
הערה: אם מתייחסים לפונקציות כאל יחסים - מקבלים את ההגדרה של הרכבת יחסים.
משפט:
- אם
חח"ע אזי
חח"ע.
- אם
על אזי
על.
- מסקנה: אם
חח"ע ועל אזי
חח"ע ו-
על.
פונקציות הפיכות
הערה: לכל פונקציה מתקיים
וגם
.
הגדרה: תהי פונקציה
. פונקציה
תיקרא הפונקציה ההופכית ל-
אם
וגם
. במקרה זה נסמן את
על ידי
, ונאמר שהפונקציה
היא הפיכה.
תרגיל (בהרצאה):
הוכיחו כי פונקציה הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל.
הוכחה:
אם הפיכה, אזי
וגם
. מכיוון שפונקציית הזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-
חח"ע ועל לפי משפט קודם.
אם חח"ע ועל, אז נגדיר
ע"י: עבור
קיים (כי
על)
יחיד (כי
חח"ע) כך ש-
. נגדיר
. תרגיל: בדקו כי
היא ההופכית של
.