הבדלים בין גרסאות בדף "מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר"
מתוך Math-Wiki
(←הרצאה 1 הקדמה) |
(←הרצאה 1 הקדמה) |
||
שורה 7: | שורה 7: | ||
− | + | ===נפילה חופשית=== | |
− | + | *גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה <math>g=9.82</math>. | |
− | + | *נסמן ב<math>y(t)</math> את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ) | |
− | + | *<math>v(t)=y'(t)</math> היא המהירות | |
− | + | *<math>a(t)=v'(t)=y''(t)</math> היא התאוצה. | |
− | + | *לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה <math>a(t)=g</math>, הרי התאוצה קבועה. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | *<math>y''(t)=g</math> | |
+ | *לכן <math>y'(t)=gt+c_1</math> | ||
+ | *לכן <math>y(t)=\frac{g}{2}t^2+c_1t+c_2</math> | ||
+ | |||
+ | |||
*כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה. | *כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה. | ||
− | + | *נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן <math>y(0)=0</math> ולכן <math>c_2=0</math> | |
− | + | *נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן <math>y'(0)=0</math> ולכן גם <math>c_2=0</math>. | |
− | + | ===ריבית דריבית=== | |
*נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה <math>y(t)</math>. | *נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה <math>y(t)</math>. | ||
*נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי <math>y(1)=y(0)+0.02\cdot y(0)</math>. | *נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי <math>y(1)=y(0)+0.02\cdot y(0)</math>. | ||
שורה 35: | שורה 39: | ||
*אם נשאיף <math>t_2\to t_1</math> נקבל כי <math>y'(t_1)=0.02\cdot y(t_1)</math> | *אם נשאיף <math>t_2\to t_1</math> נקבל כי <math>y'(t_1)=0.02\cdot y(t_1)</math> | ||
*כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית <math>y'=r\cdot y</math> כאשר <math>r</math> היא הריבית השנתית. | *כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית <math>y'=r\cdot y</math> כאשר <math>r</math> היא הריבית השנתית. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===המשוואה <math>y'=r\cdot y</math>=== | ||
+ | |||
+ | *בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה. | ||
+ | *מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים. | ||
+ | *כעת נשים לב כי: | ||
+ | *<math>y'-ry=0</math> | ||
+ | *<math>e^{-rt}(y'-ry)=0</math> | ||
+ | *<math>(e^{-rt}y)'=0</math> | ||
+ | *כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה <math>e^{-rt}y=C</math> | ||
+ | *סה"כ <math>y=Ce^{rt}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0. |
גרסה מ־11:45, 4 במרץ 2018
תוכן עניינים
הרצאה 1 הקדמה
- משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
- בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה . האם זו משוואה דיפרנציאלית?
- לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
- כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.
נפילה חופשית
- גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה .
- נסמן ב את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
- היא המהירות
- היא התאוצה.
- לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה , הרי התאוצה קבועה.
- לכן
- לכן
- כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
- נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן ולכן
- נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן ולכן גם .
ריבית דריבית
- נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה .
- נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי .
- אבל מה היה קורה אילו הבנק היה משלם את הריבית פעם בחצי שנה?
- בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית
- ובחצי השנה השנייה נקבל מחצית מהריבית, אך סכום הקרן שלנו כבר גדל
- סה"כ
- זה גדול יותר מהריבית השנתית, כיוון שצברנו ריבית על הקרן וגם על הריבית החצי שנתית.
- האם יש דרך להפוך את התהליך לרציף?
- כלומר, בהנתן שתי נקודות זמן קרובות אנו מעוניינים לקבל את הריבית היחסית על הזמן שעבר:
- נעביר אגף ונחלק
- אם נשאיף נקבל כי
- כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית כאשר היא הריבית השנתית.
המשוואה
- בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה.
- מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים.
- כעת נשים לב כי:
- כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה
- סה"כ
- על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.