הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 2"
(←פתרון) |
(←תרגיל) |
||
שורה 22: | שורה 22: | ||
1. הנורמה מוכפלת והזויות מתחברות: <math>35\text{cis}105</math> | 1. הנורמה מוכפלת והזויות מתחברות: <math>35\text{cis}105</math> | ||
− | 2. עוברים לקרטזית ושם מחברים: <math> | + | 2. עוברים לקרטזית ושם מחברים: <math>(2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot \frac{1}{2}i)+(4\cdot -\frac{sqrt{2}}{2} +4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}i)=\sqrt{3}-2\sqrt{2}+(1+2\sqrt{2})i</math> |
===נוסחת דה-מואבר=== | ===נוסחת דה-מואבר=== |
גרסה מ־11:15, 23 באוקטובר 2018
חזרה ל מערכי תרגול.
תוכן עניינים
הצגה פולרית של מספרים מרוכבים
נתבונן במספר מרוכב , נסמן ב
את הזוית עם הציר הממשי נגד השעון וב
את הנורמה, אז נקבל:
. ולכן נקבל
, שמסומן בקצרה:
.
מעבר בין הצגות
מקרטזית לפולרית: בהינתן , ניקח
עד כדי הוספת
לפי מיקום המספר על הצירים.
לדוגמא: עבור המספר נקבל
.
מפולרית לקרטזית: אם אז
.
תרגיל
חשבו:
1. .
2. .
פתרון
1. הנורמה מוכפלת והזויות מתחברות:
2. עוברים לקרטזית ושם מחברים:
נוסחת דה-מואבר
מסקנה מכפל בהצגה פולרית נקבל: .
לדוגמא: .
כך נוכל למצוא שורשים של מספרים מרוכבים. באופן כללי: אם אז
.
תרגיל
חשב את
פתרון
נקבל . נשים לב שאם ניקח
נקבל
, ולכן זה בדיוק אותו מספר כמו עבור
.
שורשים של פולינם
תרגיל
פתרו: .
פתרון
ראשית נרשום את המספר מימין בהצגה פולרית: . עכשיו נשתמש בדה-מואבר: אנחנו מחפשים את כל המספרים המקיימים את המשוואה, ולכן מתקיים:
...
ראיתם בהרצאה שלכל פולינום, אם יש לו שורש מרוכב אז גם הצמוד שלו הוא שורש. בנוסף, המשפט היסודי של האלגברה אומר שכל פולינום מעל הממשיים מתפרק לגורמים ממעלה 1 או 2. נוכל להראות זאת בקצרה פה עבור הפולינום . ניקח מהשורשים את הממשיים (חייב להיות לפחת אחד, כי 5 מספר אי-זוגי), ואותם נשים בגורם מהצורה
. לכל זוג שורשים מרוכבים (שורש והצמוד שלו), נמצא את הגורם ממעלה 2 המתאים לו ע"י בחירת המשוואה הריבועית המתוקנת (
) ששורשיה מתקבלים מהנוסחה
. כך נמצא את
.