הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 5"

גרסה מ־11:16, 27 בנובמבר 2018

תוכן עניינים

1 הגדרה
- 1.1 דוגמאות
  - 1.1.1 תרגיל
    - 1.1.1.1 פתרון
  - 1.1.2 תרגיל
    - 1.1.2.1 פתרון
- 1.2 משפטים
  - 1.2.1 תרגיל
    - 1.2.1.1 פתרון
2 תנאי קושי-רימן

הגדרה

נאמר שפונקציה גזירה בנקד' $z_0$ אם לכל סדרה $\triangle z\to 0$ קיים הגבול $\underset{\lim}{\triangle z\to 0}\frac{f(\triangle z+z_0)-f(z_0)}{\triangle z}$ , ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל.

פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה.

דוגמאות

תרגיל

האם הפונקציה $f(z)=z^2$ גזירה?

פתרון

כן. לפי הגדרה, מקבלים בדיוק כמו בממשיים!

תרגיל

האם הפונקציה $f(a+bi)=2a-3bi$ גזירה?

פתרון

לא! לוקחים סדרה ממשית וסדרה מדומה טהורה.

משפטים

סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים!

תרגיל

א. תהי $f(z)=z^n$ הוכיחו: $f'(z)=nz^{n-1}$ .

ב. יהי עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \stackrelthree לא מוכרת): P(z)=\stackrelthree{\sum}{k=0}{n} \alpha_kz^k

פולינום.

הוכיחו ש- עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \stackrelthree לא מוכרת): P'(z)=\stackrelthree{\sum}{k=1}{n} k\alpha_kz^{k-1} .

פתרון

א. באינדוקציה ע"י כלל המכפלה.

ב. מסעיף קודם וכלל החיבור.

תנאי קושי-רימן

נגזרות חלקיות

תהי $U:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ פונקציה, אזי הנגזרת החלקית לפי אחד המשתנים, זה לגזור כאילו זה המשתנה והמשתנה השני קבוע.

דוגמא: $U(x,y)=x^2+2xy$ אז הנגזרות החלקיות הן: $U_x=2x+2y,U_y=2x$ .

עוד דוגמא כרוח המתרגל באותה שעה.

כעת נראה קריטריון לגזירות פונקציה, ע"י הנגזרות החלקיות של $U,V$ המתאימות.

תנאי קושי רימן

תהי $f(x+yi)=U(x,y)+V(x,y)i$ פונקציה מרוכבת. $f$ גזירה בנקודה $z_0=(x_o,y_0)$ אם ורק אם הנגזרות החלקיות קיימות ומקיימות את המשוואות הבאות:

$\begin{cases} U_x=V_y \\ U_y=-V_x \end{cases}$ .

ובמקרה זה מתקיים: $f'(x_0+y_0i)=U_x(x_0,y_0)+V_x(x_0,y_0)i=V_y(x_0,y_0)-U_y(x_0,y_0)i$ .

תרגיל

באילו נקודות הפונקציות הבאות גזירות:

1. $f(x+yi)=x+y^3i$

2. $f(z)=z+Re(z)$

3. $f(z)=(z-1)(Re(z))^2$

4. $f(x+yi)=e^x\text{cis}y$

פתרון

משפט

פונקציה גזירה שנגזרתה אפס על כל הממשיים היא פונקציה קבועה.

תרגיל

הוכיחו שאם $f=U+Vi$ גזירה והחלק הממשי של $f$ הוא פונקציה קבועה אז $f$ קבועה.

פתרון

$U$ קבועה ולכן $U_x=U_y=0$ , וכיון שהפונקציה גזירה נובע שמתקיימות משוואות קושי-רימן, ולכן $V_y=U_x=0,V_x=-U_y=0$ , ולכן גם $V$ קבועה. ולכן $f$ קבועה.

@@ שורה 22: / שורה 22: @@
 ===משפטים===
 סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים!
+====תרגיל====
+א. תהי <math>f(z)=z^n</math> הוכיחו: <math>f'(z)=nz^{n-1}</math>.
+ב. יהי <math>P(z)=\stackrelthree{\sum}{k=0}{n} \alpha_kz^k</math> פולינום.
+הוכיחו ש- <math>P'(z)=\stackrelthree{\sum}{k=1}{n} k\alpha_kz^{k-1}</math>.
+=====פתרון=====
+א. באינדוקציה ע"י כלל המכפלה.
+ב. מסעיף קודם וכלל החיבור.
 ==תנאי קושי-רימן==

הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 5"

גרסה מ־11:16, 27 בנובמבר 2018

תוכן עניינים

הגדרה

דוגמאות

תרגיל

פתרון

תרגיל

פתרון

משפטים

תרגיל

פתרון

תנאי קושי-רימן

נגזרות חלקיות

תנאי קושי רימן

תרגיל

פתרון

משפט

תרגיל

פתרון

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים