אנליזה מתקדמת למורים תרגול 4: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
אין תקציר עריכה
שורה 1: שורה 1:
חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]].
חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]].


==הגדרה==
==פונקציות==
כדי להבין פנקציות מהצורה <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> צריך להבין מה עושה פונקציה <math>f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math>. פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד.
ראיתם כמה דוגמאות לפונקציות <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>, כמו למשל <math>f(z)=Re(z)</math> וכדו'.
 
הרבה פעמים, כדי להבין פנקציות מהצורה <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> צריך להבין מה עושה פונקציה <math>f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math>. פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד.


לדוג': <math>f(x,y)=\sin(x+y)-x</math> ועוד כהנה וכהנה.
לדוג': <math>f(x,y)=\sin(x+y)-x</math> ועוד כהנה וכהנה.
שורה 10: שורה 12:
==רציפות==
==רציפות==
הגדרת רציפות של פונקציה מרוכבת: הפונקציה <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> רציפה ב<math>z_0</math> אם לכל סדרה <math>z_n\to z_0</math> מתקיים: <math>|f(z_n)-f(z_0)|\to 0</math>. פונקציה נקראת רציפה אם היא רציפה בכל נקודה.
הגדרת רציפות של פונקציה מרוכבת: הפונקציה <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> רציפה ב<math>z_0</math> אם לכל סדרה <math>z_n\to z_0</math> מתקיים: <math>|f(z_n)-f(z_0)|\to 0</math>. פונקציה נקראת רציפה אם היא רציפה בכל נקודה.
====תרגיל====
הוכיחו שהפונקציה <math>f(z)=\overline{z}</math> היא רציפה.
=====פתרון=====
לפי הגדרה: תהי <math>z_n\to z</math>, צריך להראות ש- <math>|f(z_n)-f(z)|\to 0</math>. ואכן: <math>|f(z_n)-f(z)|=|\overline{z_n}-\overline{z}|=|\overline{z_n-z}|=|z_n-z|\to 0</math>, כאשר השאיפה בסוף נובעת מהנתון על הסדרה.


===משפטים===
===משפטים===
כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר של רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0.
כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר (כלומר, כשהמכנה לא אפס) של פונקציות רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0.


משפט חשוב: <math>f(a+bi)=U(a,b)+iV(a,b)</math> רציפה אם ורק אם <math>U,V</math> רציפות.
משפט חשוב: <math>f(a+bi)=U(a,b)+iV(a,b)</math> רציפה אם ורק אם <math>U,V</math> רציפות.
לכן, חשוב להבין רציפות של פונקציות בשתי משתנים.


===רציפות של פונקציות בשני משתנים===
===רציפות של פונקציות בשני משתנים===
שורה 22: שורה 28:


====תרגיל====
====תרגיל====
האם הפונקציות הבאות רציפות:


האם הפונקציה הבאה רציפה בראשית הצירים: <math>f(x,y)=\begin{cases}
1. <math>f(z)=\frac{z+2\overline{z}}{z\overline{z}+2}</math>
\frac{\sin x}{y} & y\neq0\\
1 & y=0
\end{cases}</math>
 
אם לא, האם ניתן להגדיר אחרת ב<math>(0,0)</math> כדי שכן תהיה רציפה שם?
=====פתרון=====
לא ולא! על מנת להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות <math>x_{n}\to 0,y_{n}\to 0</math> עבורן לא מתקיים: <math>|f(x_{n},y_{n})-f(0,0)|\to 0</math>. וזה מה שנעשה כאן:
 
אם נקבע את סדרת האיקסים להיות תמיד אפס, כלומר, <math>x_{n}=0</math>, וניקח למשל <math>y_{n}=\frac{1}{n}</math>, אז נקבל סדרת אפסים (כי המונה תמיד אפס), ולכן הגבול גם הוא אפס (הסדרה היא <math>f(x_{n},y_{n})=\frac{\sin0}{\frac{1}{n}}=0</math>). כיון שהגבול שונה מערך הפונקציה ב<math>(0,0)</math> נובע שהפונקציה לא רציפה.
 
הערה חשובה: לא ניתן "לתקן" ע"י לקבוע <math>f(0,0)=0</math> כי אם ניקח את הסדרות <math>x_{n}=y_{n}=\frac{1}{n}</math> נקבל <math>f(x_{n},y_{n})=\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\to 1</math> לפי הידוע משנה שעברה, וכיון שיש שני גבולות שונים נובע שאין דרך "לתקן".
 
====תרגיל====
 
האם הפונקציה הבאה רציפה בראשית הצירים: <math>f(x,y)=\begin{cases}
\frac{\sin(x\cdot y)}{x} & x\neq0\\
0 & x=0
\end{cases}</math>
 
=====פתרון=====
 
אכן כן. נלך לפי הגדרה: צריך להראות שלכל שתי סדרות <math>x_{n},y_{n}</math> מתקיים: <math>|f(x_{n},y_{n})-f(0,0)|\to 0</math>. נראה זאת:


<math>|f(x_{n},y_{n})-f(0,0)|=|\frac{\sin(x_{n}y_{n})}{x_{n}}|=\frac{|\sin(x_{n}y_{n})|}{|x_{n}|}</math>. עכשיו נשתמש ברמז שכתוב: תמיד מתקיים <math>|\sin x|\leq|x|</math>, ולכן אצלנו נקבל <math>|\sin(xy)|\leq|xy|</math> ונוכל להמשיך:
2. <math>f(z)=Im(z)-Re(z)i</math>


<math>\frac{|\sin(x_{n}y_{n})|}{|x_{n}|}\leq\frac{|x_{n}y_{n}|}{|x_{n}|}=\frac{|x_{n}|\cdot|y_{n}|}{|x_{n}|}=|y_{n}|\to 0</math>
3. <math>f(z)=\frac{z^2-2z+1}{z^2+1}</math>


===רציפות של פונקציות מרוכבות===
4. <math>f(x+yi)=\frac{\sin x}{x}-\frac{\cos x}{x}i</math>
====תרגיל====
האם הפונקציות הבאות רציפות בנקודות הנדרשות:


1.<math>f(z)=\frac{z^2-2z+1}{z^2+1}</math> בכל <math>\mathbb{C}\smallsetminus \{i,-i\}</math>.
5. <math>f(x+yi)=e^x(\sin y+i\tan y)</math>


2. <math>f(z)=\begin{cases} \frac{3z+\overline{z}}{2z-\overline{z}} & z\neq 0 \\ \frac{2}{10} & z=0 \end{cases}</math> ב<math>z=0</math>.
6. <math>f(x+yi)=\frac{\sin(xy)}{|y|=5}-x\text{cis}y</math>


=====פתרון=====
=====פתרון=====
1. כן, פונקציה רציונאלית רציפה כאשר המכנה לא מתאפס.
2. לא! נקבל:
<math>f(a+bi)=\frac{3a+3bi+a-bi}{2a+2bi-a+bi}=\dots =\frac{4a^2+6b^2}{9b^2+a^2}-\frac{6ab}{9b^2+a^2}i</math>.
כעת, "קל לראות" שהפונקציה שתמונתה החלק המדומה לא רציפה. ניקח סדרות <math>a_n=b_n,a_n=-b_n</math>.

גרסה מ־11:40, 10 בדצמבר 2019

חזרה ל מערכי תרגול.

פונקציות

ראיתם כמה דוגמאות לפונקציות [math]\displaystyle{ f:\mathbb{C}\to \mathbb{C} }[/math], כמו למשל [math]\displaystyle{ f(z)=Re(z) }[/math] וכדו'.

הרבה פעמים, כדי להבין פנקציות מהצורה [math]\displaystyle{ f:\mathbb{C}\to \mathbb{C} }[/math] צריך להבין מה עושה פונקציה [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} }[/math]. פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד.

לדוג': [math]\displaystyle{ f(x,y)=\sin(x+y)-x }[/math] ועוד כהנה וכהנה.

במרוכבים זה יופיע כשתי פונקציות כאלה. למשל, נניח שיש לנו את הפונקציה [math]\displaystyle{ f(a+bi)=2ab-ba^2i }[/math], זה בעצם חיבור של שתי הפונקציות הבאות: [math]\displaystyle{ U(a,b)=2ab,V(a,b)=-ba^2 }[/math] ואז נקבל: [math]\displaystyle{ f(a+bi)=U(a,b)+V(a,b)i }[/math].

רציפות

הגדרת רציפות של פונקציה מרוכבת: הפונקציה [math]\displaystyle{ f:\mathbb{C}\to \mathbb{C} }[/math] רציפה ב[math]\displaystyle{ z_0 }[/math] אם לכל סדרה [math]\displaystyle{ z_n\to z_0 }[/math] מתקיים: [math]\displaystyle{ |f(z_n)-f(z_0)|\to 0 }[/math]. פונקציה נקראת רציפה אם היא רציפה בכל נקודה.

תרגיל

הוכיחו שהפונקציה [math]\displaystyle{ f(z)=\overline{z} }[/math] היא רציפה.

פתרון

לפי הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ z_n\to z }[/math], צריך להראות ש- [math]\displaystyle{ |f(z_n)-f(z)|\to 0 }[/math]. ואכן: [math]\displaystyle{ |f(z_n)-f(z)|=|\overline{z_n}-\overline{z}|=|\overline{z_n-z}|=|z_n-z|\to 0 }[/math], כאשר השאיפה בסוף נובעת מהנתון על הסדרה.

משפטים

כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר (כלומר, כשהמכנה לא אפס) של פונקציות רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0.

משפט חשוב: [math]\displaystyle{ f(a+bi)=U(a,b)+iV(a,b) }[/math] רציפה אם ורק אם [math]\displaystyle{ U,V }[/math] רציפות.

רציפות של פונקציות בשני משתנים

פונקציה [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} }[/math] רציפה בנק' [math]\displaystyle{ (x_0,y_0) }[/math] אם לכל זוג סדרות [math]\displaystyle{ x_n\to x_0,y_n\to y_0 }[/math] מתקיים: [math]\displaystyle{ |f(x_n,y_n)-f(x_0,y_0)|\to 0 }[/math]. כדי להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות שלא מקיימות את התנאי.

תרגיל

האם הפונקציות הבאות רציפות:

1. [math]\displaystyle{ f(z)=\frac{z+2\overline{z}}{z\overline{z}+2} }[/math]

2. [math]\displaystyle{ f(z)=Im(z)-Re(z)i }[/math]

3. [math]\displaystyle{ f(z)=\frac{z^2-2z+1}{z^2+1} }[/math]

4. [math]\displaystyle{ f(x+yi)=\frac{\sin x}{x}-\frac{\cos x}{x}i }[/math]

5. [math]\displaystyle{ f(x+yi)=e^x(\sin y+i\tan y) }[/math]

6. [math]\displaystyle{ f(x+yi)=\frac{\sin(xy)}{|y|=5}-x\text{cis}y }[/math]

פתרון
אוחזר מתוך "https://math-wiki.com/index.php?title=אנליזה_מתקדמת_למורים_תרגול_4&oldid=82951"