אנליזה מתקדמת למורים תרגול 7

חזרה ל מערכי תרגול.

מהי מד"ר?

מד"ר = משוואה דיפרנציאלית רגילה. כלומר, זוהי משוואה שמערבת פונקציה ונגזרות שלה (עם משתנה אחד). למשל: [math]\displaystyle{ y+y'-x^2+2=2y'' }[/math]. המטרה היא למצוא פונקציה [math]\displaystyle{ y }[/math] שפותרת את המשוואה.

אנחנו נלמד על שיטות לפתור משוואות כאלה, כלומר למצוא את הפונקציה [math]\displaystyle{ y }[/math] המתאימה (לפעמים זה יהיה עד כדי תוספת של קבוע, דבר שלא משפיע על הנגזרות).

מד"ר לינארית מסדר ראשון

מד"ר לינארית מסדר ראשון היא כזו שניתן למצוא פונקציות [math]\displaystyle{ a(x),b(x) }[/math] ולהביא את המשוואה לצורה: [math]\displaystyle{ y'+a(x)y=b(x) }[/math]. היא תקרא הומוגנית אם[math]\displaystyle{ b(x)=0 }[/math].

דוגמאות נחמדות.

איך פותרים משוואות כאלה?

הומוגנית

נתחיל משיטת פתרון להומוגנית:

המשוואה הנתונה היא כזו: [math]\displaystyle{ y'+a(x)y=0 }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ A(x)=\int a(x)dx }[/math], נכפיל בגורם שונה מאפס [math]\displaystyle{ e^{A(x)} }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=0 }[/math]. כעת נשים לב להפתעה הבאה:

[math]\displaystyle{ (ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=0 }[/math].

כלומר, קיבלנו שאגף שמאל הוא הנגזרת [math]\displaystyle{ (ye^{A(x)})' }[/math], אבל אגף שמאל שווה אפס, ולכן הנגזרת הזו גם שווה לאפס. איך זה עוזר לנו? ניזכר שנגזרת של משהו שווה לאפס אם ורק אם הוא קבוע, ולכן קיבלנו [math]\displaystyle{ ye^{A(x)}=c }[/math]

ומכאן למסקנה החשובה: [math]\displaystyle{ y=ce^{-A(x)} }[/math]. זה מה שצריך לעשות בפועל!!

תרגיל

פתרו את המד"ר: [math]\displaystyle{ y'+\ln(x)y=0 }[/math].

פתרון

בסימונים מלמעלה נקבל [math]\displaystyle{ a(x)=\ln(x)\Rightarrow A(x)=\int \ln(x)dx=x\ln(x)-x }[/math]. לכן נקבל [math]\displaystyle{ y=ce^{-x\ln(x)+x} }[/math].

לא הומוגנית

האמת היא שזה אותו רעיון בדיוק. כאן המד"ר היא [math]\displaystyle{ y'+a(x)y=b(x) }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ A(x)=\int a(x)dx }[/math], נכפיל בגורם שונה מאפס [math]\displaystyle{ e^{A(x)} }[/math] ונקבל [math]\displaystyle{ y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=b(x)e^{A(x)} }[/math]. כעת נשים לב להפתעה הבאה:

[math]\displaystyle{ (ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=b(x)e^{A(x)} }[/math].

כלומר, קיבלנו שאגף שמאל הוא הנגזרת [math]\displaystyle{ (ye^{A(x)})' }[/math], ולכן הנגזרת הזו שווה לאגף ימין. לכן [math]\displaystyle{ ye^{A(x)}=\int b(x)e^{A(x)}dx+c }[/math].

ומכאן לנוסחא: [math]\displaystyle{ y=e^{-A(x)}(\int b(x)e^{A(x)}dx+c) }[/math].

תרגיל

פתרו את המד"ר הבאה: [math]\displaystyle{ y'+y=x }[/math].

פתרון

בסימונים מלמעלה נקבל [math]\displaystyle{ a(x)=1\Rightarrow A(x)=x),b(x)=x }[/math], ולכן נקבל: [math]\displaystyle{ y=e^{-x}(\int xe^xdx+c) }[/math]. נפתור את האינטגרל בחלקים: [math]\displaystyle{ \int xe^xdx=\{f=x,g'=e^x,f'=1,g=e^x\}=fg-\int f'g=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x=e^x(x-1) }[/math]. ולכן: [math]\displaystyle{ y=e^{-x}(e^x(x-1)+c)=x-1+ce^{-x} }[/math].

פתרון פרטי ותנאי התחלה

כפי ששמתם לב, הפתרון שלנו הוא כללי - לכל [math]\displaystyle{ c }[/math] שנציב נקבל פונקציה אחרת. לפעמים אנחנו רוצים למצוא פונקציה ספציפית. אם נדע ערך בנקודה ספציפית נוכל לדעת מהי הפונקציה הספציפית. למשל בתרגיל הקודם, אם נתון לנו ש [math]\displaystyle{ y(0)=1 }[/math] נציב במשוואה הכללית שקיבלנו [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] ונקבל:

[math]\displaystyle{ 1=y(0)=0-1+ce^{-0}=-1+c\Rightarrow c=2 }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ y=x-1+2e^{-x} }[/math].

תרגיל

פתרו את המד"ר [math]\displaystyle{ y'+\sin xy=5e^{\cos x} }[/math], עם תנאי התחלה: [math]\displaystyle{ y(0)=1 }[/math].

תרגיל

לפי חוק הקירור של ניוטון, קצב ההתקררות של גוף הנמצא באוויר פרופורצינאלי להפרש בין טמפרטורת החדר לטמפרטורת הגוף, ע"י קבוע הקירור של הגוף שהוא [math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{3}} }[/math]. אם טמפרטורת החדר היא 30 וטמפרטורת הגוף 100, מתי תהיה טמפרטורת הגוף 40?

פתרון

הפונקציה הבסיסית בסיפור היא הטמפרטורה כפונקצייה של הזמן: [math]\displaystyle{ T(x) }[/math] זו הטמפ' בזמן [math]\displaystyle{ x }[/math]. כעת קצב התקררות זה בדיוק השיפוע של פונקציית הטמפ', כלומר, הנגזרת. נתון שהוא פרופורציונאלי להפרש, לכן נקבל [math]\displaystyle{ T'=-\frac{1}{\sqrt{3}}(T-30) }[/math]. נביא את המד"ר לצורה שאנחנו אוהבים: [math]\displaystyle{ T'+\frac{1}{\sqrt{3}}T=30 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ a(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}(\Rightarrow A(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}x),b(x)=\frac{30}{\sqrt{3}} }[/math], ולפי הנוסחא נקבל: [math]\displaystyle{ T=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(\int 30\frac{1}{\sqrt{3}}e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}dx+c)=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(30\frac{1}{\sqrt{3}}^2e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}+c)=10+ce^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x} }[/math].

כעת נציב את נתוני ההתחלה: [math]\displaystyle{ T(0)=100 }[/math], ונקבל: [math]\displaystyle{ 100=10+ce^0\Rightarrow c=90 }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ T(x)=10+90e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x} }[/math]

עכשיו אנחנו מחפשים את הזמן בו הטמפרטורה 40. כלומר פתרון למשוואה: [math]\displaystyle{ 10+90e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}=40 }[/math] קצת אלגברה:

[math]\displaystyle{ e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}=\frac{1}{3}\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{3}}x=\ln(\frac{1}{3})\Rightarrow x=-\sqrt{3}\cdot \ln(\frac{1}{3}) }[/math].