88-133 תשפ"ב סמסטר ב/תיכוניסטים

88-133 חשבון אינפיניטיסימלי 2

מיקוד ע"י פרופ' בועז צבאן

סיכומים, קישורים, תרגילים

• תרגילים, מבחנים והפתרונות שלהם ע"י שגיא צנציפר

• רשימת משפטים וההוכחות שלהם ע"י עידו גולדנברג

• אוסף מבחנים של נבו וצבאן ע"י אורי פקלק

• סיכום מפורט של ההרצאות ע"י עידו קצב

• סיכום משפטים אינפי 2 ע"י ליאן קובי

• ספר תרגילים - אלכס קופרמן

• חקירה פונקציות/טורים/טורי חֲזָקוֹת ע"י יובל בר

• חישובים וקירובים באמצעות טיילור-מקלורן ע"י יונתן סמידוברסקי

• האינטגרל הלא מסוים ושיטות אינטגרציה ע"י יונתן סמידוברסקי

מחשבונים

• מחשבון גבולות
• מחשבון אינטגרלים
• מחשבון נגזרות

מבחן ההשוואה הראשון

יהיו [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] שני טורים אינסופיים. אם מתקיים החל ממקום מסוים [math]\displaystyle{ 0\le a_n \le b_n }[/math], אז:

• אם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] מתכנס, גם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס; לכן גם:
• אם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתבדר, גם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] מתבדר.

מבחן ההשוואה השני (הנקרא גם מבחן ההשוואה הגבולי)

יהיו [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] שני טורים חיוביים אינסופיים, שעבורם הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=L }[/math] קיים. אז:

• אם [math]\displaystyle{ 0\lt L\lt \infty }[/math], הטורים מתכנסים או מתבדרים יחדיו.
• אם [math]\displaystyle{ L=0 }[/math], אם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] מתכנס אז [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס ואם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתבדר אז [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] מתבדר (אבל ההפך אינו בהכרח נכון).
• אם [math]\displaystyle{ L=\infty }[/math] אם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] מתבדר אז [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתבדר ואם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס אז [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] מתכנס (אבל ההפך אינו בהכרח נכון).

טורי טיילור ומקלורן של פונקציות נפוצות

להלן מספר טורי טיילור ומקלורן של פונקציות נפוצות.

• אקספוננט: [math]\displaystyle{ \mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\forall x }[/math]

• לוגריתם טבעי: [math]\displaystyle{ \ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}\quad\mbox{ for } \left| x \right| \lt 1 }[/math]
  נשים לב שנוכל להציב [math]\displaystyle{ x=-1 }[/math] ונקבל טור את הטור ללא [math]\displaystyle{ (-1)^{n-1} }[/math] ועם מינוס על כולו.

• סדרה הנדסית (טור גאומטרי): [math]\displaystyle{ \frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\mbox{ for } \left| x \right| \lt 1 }[/math]

• סינוס: [math]\displaystyle{ \sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \pm \cdots \quad\forall x }[/math]

• קוסינוס: [math]\displaystyle{ \cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} \pm \cdots \quad\forall x }[/math]

פתרונות מבחנים

ע"י לירן מנצורי ויונתן סמידוברסקי

1. פתרון מבחן 2010, מועד א'
2. פתרון מבחן 2010, מועד ב'

ע"י יובל בר וחברים

• פתרון מבחן 2010, מועד א'+ב'

הודעות

• זה דף שנוצר ומתוחזק על ידי יובל בר - סטודנט שנה א' - לא דף של הסגל ולא מקושר אל הסגל.

פינת הפתגמים המעודדים

• יויו אקסטרים זה לא ספורט

• תירס בפחית זה אחד השימורים היותר טובים

• חצי ים המלח לא שלנו, החצי השני של האחים עופר

• אפילו אם לא הולך לכם בשאלה מסוימת, העיקר זה להבין את זה ולוותר

• עדיף לנסות לדוג כל היום ולהצליח רק פעם בשנה מללמוד מתמטיקה

• שום דבר אינו יכול לעמעם את האור שזורח מבפנים

• יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math], כעת מתקיים [math]\displaystyle{ \forall_{taalool}\exists_{N\in \mathbb{N}}:\forall_{n\ge N}:\left| taalool_n-gvool \right|\le \varepsilon }[/math]

• כדי למנוע כאבי ידיים ועיניים במהלך הלימודים, השתמשו בחוק ה20, 20, 20:
  כל 20 דקות הסתכלו על משהו במרחק 20 מטר ותבלו 20 שנה ביערות.

• מטריצה מתכנסת במ"ש היא פיתוח טיילור של טור ז'ורדן המתכנס בוקטורים העצמיים.

• משפט ניצן: אינטגרציה זה לא קשה, זה פשוט למצוא פונקציה קדומה.

חומר עזר

• תקציר הקורס ע"י פרופ' בועז צבאן
• חוברת תרגילים ע"י פרופ' בועז צבאן
• מבחנים ע"י פרופ' בועז צבאן:
  • שנת 2016 מועד א'
  • שנת 2016 מועד ב'
  • שנת 2017 מועד א'
  • שנת 2017 מועד ב'
  • שנת 2018 מועד א'
  • שנת 2018 מועד ב'

הרצאות מוקלטות של פרופ' בועז צבאן

הערוץ יוטיוב של פרופ' צבאן

1. לא היה
2. שימושי טיילור
3. אינטגרלים לא מסוימים
4. המשך אינטגרלים
5. אינטגרל של פונקציה רציונלית
6. האינטגרל המסוים
7. אינטגרל עליון ותחתון
8. שוב אינטגרל עליון ותחתון
9. אינטגרל מסוים, כיסויים וקבוצות אפסיות

בבנייה

חידות

תודה לרועי תורג'מן על החידות

1. יהיו 2 מספרים טבעיים [math]\displaystyle{ m,l\in\mathbb{N} }[/math].
   חשבו את גבול הסדרה:
   [math]\displaystyle{ \displaystyle {}{a_n=\frac{\displaystyle{}\sum ^{m}_{k=1}k^n}{\displaystyle {}L^n}} }[/math]
2. תהי פונקציה חיובית וחסומה f הגזירה אינסוף פעמים.
   נתון שנגזרותיה חסומות באופן אחיד ב[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].
   חשבו את הגבולות הבאים:
   • [math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{x\to\infty }f^{(2022)}(x) }[/math]
   • [math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{x\to\infty }xf'(x) }[/math]
   • [math]\displaystyle{ \displaystyle \forall_{k\in\mathbb{N}}:\lim_{x\to\infty }x\ln(x)f^{(k)}(x) }[/math]

תרגולים

תרגולים של הדר:

1. טורי טיילור ומקלורן
2. סיום טורי טיילור + אינטגרל לא מסויים: שיטת ההצבה ואינטגרציה בחלקים
3. אינטגרל לא מסויים: פונקציות רציונליות + הצבות מיוחדות
4. אינטגרל מסויים לפי רימן + אינטגרל מסויים לפי דרבו
5. סיום אינטגרל רימן/דרבו + למת העידון + קבוצות אפסיות
6. תכונות האינטגרל המסויים + המשפט המסויים של החשבון האינפיניטסימלי
7. שיטות אינטגרציה לאינטגרל מסויים + אינטגרלים לא אמיתיים סוג ראשון
8. מבחן דריכלה להתכנסות אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון + אינטגרלים לא אמיתיים מסוג שני
9. סדרות פונקציות + הגדרת טורי פונקציות
10. טורי פונקציות + אינטגרציה וגזירה איבר איבר