פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4
השאלה: נניח שלמטריצות יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות ו דומות.
פתרון:
הגדרה:
האינדקס של ערך עצמי הוא
כאשר יש ע"ע יחיד הפולינום האופייני הוא כמו שהראנו קודם
בגלל שהפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני האינדקס של
נניח שהאינדקס 1
נקבל שהבלוק ג'ורדן הכי גדול בצורת ג'ורדן הוא מסדר 1
כלומר קיבלנו מטריצה סקלרית ולכן היא יחידה
נניח שהאינדקס 2
נקבל שבצורת ג'ורדן הבלוק הכי גדול הוא עבור m=2 ולכן נשאר לנו מקום רק לבלוק מסדר אחד כלומר צורת ג'ורדן מורכבת מ ,
נניח שהאינדקס 3
נקבל שיש רק בלוק אחד מסדר 3
בסופו של דבר הראנו שהפולינום האופייני והמינימלי מגדירים באופן יחיד את צורת הג'ורדן ולכן נניח יש ל-A ול-B אתו פוינום אופיינו ומינימלי נקבל:
ומטרנזיטיביות של דמיון מטריצות
נניח שיש 2 שורשים שונים כלומר 2 ערכים עצמיים שונים נניח בלי הגבלת הכלליות :
נבדוק כל אחד מהאפשרויות עבור האינדקס של
נניח שהוא 1
נקבל שכל בלוק הוא מסדר 1 (כי האינדקס קטן מהריבוי האלגברי והריבוי האלגברי של הוא 1) ולכן יש צורת ג'ורדן יחידה אלכסונית
נניח שהוא 2
נקבל שקיים בלוק מסדר 2 וזה חייב להיות ולכן עוד פעם צורת ג'ורדן מוגדרת באופן יחיד ע"י הפולינים: האופייני והמינימלי ולכן מאותו נימוק כמו קודם:
ומטרנזיטיביות של דמיון מטריצות