88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 2
מתוך Math-Wiki
1
תנאי הכרחי להתכנסות הטור הוא התכנסות הסדרה לאפס . תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.
טור מתכנס בתנאי הינו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.
2
א
ברור כי ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.
ב
כיוון שהטור מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן
ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור מתכנס, כלומר הטור מתכנס בהחלט.
ג
הוכחה:
כיוון שהטור מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה לא חסומה או לא מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת לאפס ולכן הטור מתבדר.
ד
הפרכה:
מתכנס לפי לייבניץ, אבל מתבדר
3
א
ב
ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס
ולכן מתכנס
ג
ד
ה
נפעיל את מבחן המנה:
נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל:
ולכן הטור מתכנס.