אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר
מתוך Math-Wiki
להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
- פונקציה.
- הם מקדמי פורייה בטור פורייה של , ו־ מקדמי פורייה בטור פורייה המרוכב.
- היא העצרת הכפולה של , והיא שווה למכפלת כל המספרים האי־זוגיים (אם אי־זוגי) מ־1 עד , או כל המספרים הזוגיים (אחרת). כלומר: ו־.
- אי־שיוויון הולדר: אם כאשר (כלומר, צמודים) אזי .
- אם אזי .
- ההיטל של על הוא .
- אם בסיס אורתוגונלי אזי הקירוב הטוב ביותר ל־ ב־ הוא , כלומר .
- אי־שיוויון בסל: .
- תהליך גרם־שמידט: בהנתן בסיס נוכל להגדיר בסיס אורתוגונלי ובסיס אורתונורמלי באופן הבא:
- מרחב הפולינומים ממעלה או פחות מסומן .
- פולינומי לז׳נדר: בהנתן המכפלה הפנימית על מרחב הפולינומים , הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס הם ניתן לחשב אותם גם ע״י או , והם מקיימים .
- פולינומי צבישב: בהנתן המכפלה הפנימית על מרחב הפולינומים , הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס הם ניתן לחשב אותם גם ע״י (נוסחת רודריגז) או , והם מקיימים .
- פונקציה רציפה למקוטעין היא פונקציה רציפה למעט במספר סופי של נקודות אי־רציפות שאינן מסוג שני. הפונקציות הרציפות למקוטעין יוצרות מרחב מכפלה פנימית עם (במקרה הממשי) או (במקרה המרוכב).
- מערכת סגורה: נתונה קבוצה אורתונורמלית אינסופית במרחב מכפלה פנימית. המערכת תקרא סגורה אם היא מקיימת לכל וקטור את התנאי .
- המערכת אורתונורמלית סגורה ב־.
- טור פורייה של הוא כאשר ו־.
- אם זוגית זה טור קוסינוסים, ואם היא אי־זוגית זה טור סינוסים.
- מתקיים
- המערכת אורתונורמלית סגורה ב־.
- טור פורייה המרוכב של הוא כאשר .
- מתקיים וכן .
- הוא מרחב כל הפוקנציות ב־ שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה למעט, אולי, בקצות הקטע.
ָָָ* משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה): תהי אינטגרבילית בהחלט ובעלת מחזור . בכל נקודה בה קיימת נגזרת טור פורייה מתכנס ל־.
- אם נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־.
- למת רימן־לבג: אם אינטגרבילית בהחלט אזי כאשר (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה).
- גרעין דיריכלה: . בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־ שווה ל־.
- אם רציפה בכל הקטע ו־ אז טור פורייה של יתכנס אליה בכל הקטע.
- אם בנוסף אזי טור פורייה של מתכנס אליה במ״ש על הקטע.