88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4
מתוך Math-Wiki
מרחבים וקטורים
דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ
עם חיבור
וכפל בסקלאר הוא מרחב וקטורי.
ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.
הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה , כאשר
- היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר
- הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של וכפל בסקלאר.
- כפל בסקלאר () היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי . פורמאלית
אקסיומות מרחב וקטורי:
- אקסיומות של החיבור ב : לכל מתקיים
- מוגדרות: .
- קיבוץ: .
- חילוף: .
- איבר נטרלי: .
- איבר נגדי: .
- אקסיומות של כפל וחיבור של שדה: בהגדרת שדה
- אקסיומות כפל בסקלאר: לכל מתקיים
- מוגדרות
- קיבוץ:
- כפל ביחידה (של השדה):
- פילוג:
טרמינולוגיה: אומרים ש מרחב וקטורי מעל .
איברי נקראים וקטורים. איברי נקראים סקלארים.
תכונות בסיסיות:
.1
.2
דוגמאות
1. מעל
עם חיבור
וכפל בסקלאר
2. מרחב המטריצות מעל שדה עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.
3. מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית מעל שדה
עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.
4. מרחב הפולינומים עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.