אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־11:30, 3 בנובמבר 2016 מאת יהודה שמחה (שיחה | תרומות)
תוכן עניינים
אלגוריתם מלא לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
תהי פונקציה מהצורה כאשר
פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב
.
עובדה. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא שדה סגור ממשית. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).
מצב ראשון ![\deg(p)=\deg(q)-1](/images/math/b/1/3/b133db9c87f47b71abf1f6694694b36a.png)
ניתן למצוא קבוע כך ש-
כך ש-
.
אז רושמים
וממשיכים לשלב הבא:
מצב שני ![\deg(p)<\deg(q)-1](/images/math/6/d/5/6d5f7d00a52c7d9eedecb43ec4f1633a.png)
- נפרק את
לגורמים אי-פריקים:
- כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
- נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום
, מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים
.
- נחשב כל מחובר בנפרד:
אינטגרל מהצורה ![I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}](/images/math/6/e/2/6e25c037c1802225ced141de0d1f7104.png)
נבצע הצבה על-מנת לקבל:
אינטגרל מהצורה
(כאשר המכנה אי-פריק)
- נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל
- כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה
- נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
אינטגרל מהצורה
(כאשר המכנה אי-פריק)
- דבר ראשון, בדומה למצב הראשון, נצמצם את הבעיה לאינטגרל מהצורה
- את החלק
פותרים לפי הנוסחא לעיל
- לחלק הנותר נבצע הצבה
לקבל אינטגרל פתיר מהצורה
מצב שלישי ![\deg(p)=\deg(q)](/images/math/9/f/c/9fc3ea5c62015d353f2df48ce2eba0f0.png)
- קיים קבוע
כך שקיים פולינום
המקיים
וגם
.
- נפריד את האינטגרל לשניים
- נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.
מצב רביעי ![\deg(p)>\deg(q)](/images/math/6/9/a/69a31c18df1db0e0c290c3feec8360f7.png)
- נבצע חלוקת פולינומים על-מנת לקבל את הנוסחא
כאשר מתקיים
- מתקיים
- נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.
מצב חמישי ![p=f',q=f^m](/images/math/c/b/2/cb2a5f64d98fbdbcbd0cd0bc59907625.png)
מבצעים את ההצבה
דוגמאות
דוגמא 1
בדוגמא זו ניתן להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה ולקבל
דוגמא 2
נפרק לשברים חלקיים
לכן