נמצא פ"א: כי דטר' של מטר' משולשית היא מכפלת איברי האלכסון.
זהו גם הפ"מ של A:
הפ"מ מחלק את הפ"א, לכן הפ"מ חייב להיות מהצורה , כאשר .
נבדוק ישירות שA-I בריבוע שונה ממטריצת אפסים:
אבל (A-I)^3=(A-I)^2)(A-I)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}
0& 0 &0 \\
0 & 0 &0 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix}
קיבלנו שהמטריצה נילפ' מאינדקס 3. לכן, לפי משפט שהוכחנו, הבלוק הגדול ביותר בצורת ז'ורדן שדומה לה הוא מסדר 3=אינדקס הנילפוטנטיות.
אבל המטר' היא כבר מסדר 3, ולכן בלוק זה חייב להיות הבלוק היחיד במטריצה. קיבלנו ש דומה לבלוק ז'ורדן נילפוטנטי מסדר 3.
לפי הגדרת דמיון המטריצות, קיימת מטר' הפיכה כך ש:
נעביר אגפים ונקבל:
קיבלנו שצורת ז'ורדן הדומה ל-A היא
כנדרש! :)