הלמה של קנטור
תהי סדרה של קטעים סגורים המוכלים זה בזה , כך שאורך הקטעים שואף לאפס. אזי קיימת נקודה יחידה הנמצאת בכל הקטעים.
הוכחה
נסמן . לפי הנתון שהקטעים מוכלים זה בזה, ניתן להסיק כי מונוטונית עולה וחסומה על-ידי , ואילו מונוטונית יורדת וחסומה על-ידי .
לכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. כיון שאורך הקטעים שואף לאפס, ולכן גבול הסדרות זהה. נוכיח כי הנקודה
מקיימת את הדרוש.
נניח בשלילה, כי קיים קטע כך ש- . לכן או וכיון שאילו סדרות מונוטוניות, הגבול שלהן שונה מ- בסתירה. ( או )
לכן הנקודה שייכת לכל הקטעים. נניח והייתה נקודה נוספת השייכת לכל הקטעים. לכן אורך כל הקטעים הוא לפחות בסתירה לכך שהאורך שואף לאפס.