הגדרת נקודת קיצון מקומית
תהי מוגדרת בסביבת הנקודה
כך שלכל
בסביבה מתקיים:
(נקודת מקסימום מקומי)
או
(נקודת מינימום מקומי)
אזי הנה נקודת קיצון מקומית של
.
משפט פרמה
תהי נקודת קיצון מקומית של פונקציה
. אזי אם
גזירה ב
מתקיים:
הוכחה
נניח כי גזירה בנקודת מקסימום מקומי
(ההוכחה עבור מינימום דומה). אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:
לפי משפט, כיון שהגבול קיים, הגבולות החד צדדיים ושווים.
לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של בה מתקיים
, וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם
.
לכן ביחד, מתקיים כי
באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של בה מתקיים
, וכיון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם
.
לכן ביחד, מתקיים כי
סה"כ כפי שרצינו.