שדה סופי הוא – למה כבר אפשר לצפות – שדה סופי, כלומר, שדה שיש בו מספר סופי של אברים.
הדוגמא המוכרת ביותר הם השדות מסדר ראשוני, , אבל יש גם שדות סופיים אחרים.
כמו בחבורות, ה"סדר" של השדה הוא מספר האברים שלו. וכמו בחבורות, הסדר הוא הפרמטר החשוב ביותר בתאור השדה. למעשה, הרבה יותר מבחבורות: כל שני שדות סופיים מאותו סדר הם איזומורפיים.
סדרים אפשריים
המאפיין של שדה סופי הוא מספר ראשוני . השדה מכיל תת-שדה ראשוני שהוא איזומורפי ל־
. השדה הוא מרחב וקטורי מעל תת־השדה הזה, ומכיוון שיש לו ממד סופי, הוא איזומורפי *בתור מרחב וקטורי* ל־
(התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני
.
קיום
לכל חזקת ראשוני קיים שדה מסדר
.
הוכחה. נתבונן בפולינום מעל השדה הראשוני
. יהי
שדה מפצל של הפולינום הזה. נתבונן בתת־הקבוצה
. קל לראות שהיא סגורה לכפל; והיא סגורה לחיבור בשל אוטומורפיזם פרובניוס. לכן זהו תת־שדה. יש בו בדיוק
אברים, בגלל צירוף הסיבות הבאות:
- מספר השורשים של הפולינום אינו יכול לעבור את המעלה;
- הפולינום ספרבילי ולכן אין לו שורשים חוזרים;
- הפולינום מתפצל ב־
מכיוון שהוא מתפצל ב־
.
כדי לבנות באופן מפורש שדה מסדר , יש להכיר פולינום אי-פריק
ממעלה
. במקרה זה, חוג המנה
הוא שדה מכיוון ש־
אידיאל מקסימלי.
יחידות
העובדה שמכל סדר יש לכל היותר שדה אחד נובעת מיחידות שדה הפיצול (טענה זו אינה בחומר לקורס "מבנים אלגבריים").