(המבחן )
שאלה 2
נגדיר פונ' על ידי
.
h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות.
ואילו
ולכן לפי משפט ערך הביניים
.
בנקודה זו מתקיים הדרוש - . מש"ל.
שאלה 3
א) משפט טיילור - תהי פונקצייה מוגדרת וגזירה
פעמים בסביבה
של
. אז
, כאשר
.
ב)תהי . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:
נחשב נגזרות -
,
ועם קצת פתיחת סוגריים ופישוט נקבל את הפולינום שהתחלנו ממנו.
מתקיים ולכן השארית היא 0, כצפוי.
שאלה 4
הפונקצייה בכל מחזור תעלה בדיוק ב
, ולכן הפונקצייה היא אוסף עותקים עולים ('קופצים') ב
בכל פעם של קטע בודד באורך
שלה. (ראו הגרף)
נימוק פורמלי:.
גם ברור שהיא רציפה כסכום והרכבת רציפות.
נגזור:
זה סיזיפי, אבל מוצאים אילו מהנק' הנ"ל הן בתחום, מציבים בנגזרת השנייה לבדיקת סוג קיצון וכו'.
גרף באדיבות וולפראם: קובץ:X+sin2x.pdf
שאלה 5
א) סדרה ממשית תקרא סדרת קושי אם("ם):
ב)ניקח את הסדרה שהאיבר ה-
-י בה הוא הקירוב העשרוני עד למקום ה-n של
(יותר מגניב משורש 2, אבל פחות נכון כי לך תוכיח שהוא לא רציונלי).
היא של רציונליים, היא מתכנסת מעל הממשיים ולכן היא סדרת קושי, אבל
, אם להאמין לספרים, אינו רציונלי.
ג) נשים לב שהטור עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \sum (a_n+1\right - a_n\right) = (-1)^(n)(\frac{1}{2^n} + \frac{1}{2^nn!}
שאלה 6
השאלה אמנם לא בחומר, אבל קלה מדי אפילו לבגרות(בהנחה שהבנתי אותה נכון):
המהירות היא ולכן האינטגרל הוא
, ועם תנאי ההתחלה
נקבל
.
לכן אנו מעוניינים במקסימום הגלובלי של בתחום
.
הנגזרת שווה למהירות, והיא מתאפסת בתחום הנ"ל בנקודה . לכן מספיק למצוא את הערך הגדול ביותר בין הערכים שהפונ' מקבלת בנקודות 2,0,3.
,
,
ולכן ההעתק המקסימלי הוא
.