המבחן של פרופ' זלצמן
שאלה 1
הוכח/הפרך: הסדרה מתכנסת אם"ם לכל תת-סדרה יש-תת סדרה מתכנסת.
הפרכה
כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיון שכל תת-סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש לה תת-סדרה מתכנסת. (למשל )
שאלה 2
בדוק התכנסות של הטורים הבאים:
א
נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבלת:
קל לראות ש- ולכן . לכן ולכן הטור מתבדר לחלוטין.
ב
נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות ש-
ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת ל- ):
זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.
ג
נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל
ולכן הטור מתכנס בהחלט.
שאלה 4
זהה וסווג את נקודות אי-הרציפות.
א
נקודת אי-הרציפות היא . הגבול משמאל הנו ולכן זה מין שני.
ב
כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת כאשר חיובי, ו- כאשר הוא שלילי, ב- היא לא-מוגדרת ולכן זו נקודת אי-רציפות. לכן סה"כ נקודות אי-הרציפות הנן כאשר . פרט ל- , הן כולן מין ראשון מכיון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי-הרציפות או משמאלה).
ב- , אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי-רציפות סליקה.
ג
כאשר
נחלק לתחומים. בתחום מתקיים ולכן .
בתחום מתקיים ולכן .
קל איפוא לראות שבנקודות יש אי-רציפות ממין ראשון (שם הנגזרת מתקרבת ל- מצד אחד ו- מצד שני).
שאלה 5
אילו מהפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים המסומנים?
א
בתחום .
קל לראות שהפונקציה רציפה בקטע, נבדוק גבולות בקצות הקטע:
אפס כפול חסומה
שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.
ב
בתחום .
קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה שנמצאת בתחום ולכן אינה רציפה במ"ש שם.
ג
בתחום .
זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: ולכן רציפה במ"ש בתחום.
שאלה 7
חשב את הקירוב הלינארי של ב- .
הקירוב הלינארי של באזור הנקודה , הנו
במקרה שלנו
ולכן סה"כ
המבחן של דר' שמחה הורוביץ
שאלה 3
תהי פונקציה רציפה במ"ש בקטע . נניח שקיים כך שמתקיים לכל . הוכח שהפונקציה רציפה במ"ש בקטע .
הוכחה
לפי הנתון, לכל קיים כך שאם מתקיים .
לכן, מתקיים
כפי שרצינו.
שאלה 6
תהי פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש- וגם . עוד נניח שלכל מתקיים . הוכיחו שלכל מתקיים .
הוכחה
מכיון שהפונקציה ו- 4 נגזרותיה מתאפסות באפס, פולינום טיילור מסדר בסביבת הנקודה שווה זהותית ל- . השארית היא מהצורה כאשר .
מכיון ש- והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של בה . לכן בסביבה ימנית של מתקיים .
נותר להוכיח ש- עבור גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. נניח בשלילה ש- אזי לפי משפט ערך הביניים עבור איזה . אבל גם ולכן לפי משפט רול הנגזרת מתאפסת עבור נקודה גדולה מ- בסתירה.