הפולינום האופייני
הגדרה
תהי A מטריצה ריבועית, אזי הפולינום האופייני שלה מוגדר להיות:
- [math]\displaystyle{ f_A(x):=\Big|xI-A\Big| }[/math]
קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה x.
קשר בין פולינום אופייני לע"ע
התנאים הבאים שקולים:
- x ע"ע של המטריצה A
- קיים v שונה מאפס כך ש Av=xv
- קיים v שונה מאפס כך ש Av-xv=0
- קיים v שונה מאפס כך ש [math]\displaystyle{ (A-xI)v=0 }[/math]
- קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת ההומוגנית [math]\displaystyle{ (A-xI)v=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ N(A-xI)\neq 0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Big|A-xI\Big|=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ f_A(x)=0 }[/math]
אם כך: x הינו ע"ע של A אם"ם x הינו שורש של הפולינום האופייני של A