1
קבעו אילו מן המשפטים הבאים שקולים לשלילה של המשפט "לכל קוף ולכל קרנף, יש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף"
- יש קוף כך שלכל הג'ירפות אין אבא שמן כמו אף קרנף או שאימן יפה מהקוף
- יש קוף, קרנף וג'ירפה עם אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף
- לכל קוף אין קרנף כך שיש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף
- יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאין להן אבא שמן כמו הקרנף, אין להם אמא מכוערת כמו הקוף
- יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאביהן שמן כמו הקרנף, אימן יפה מן הקוף
- יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות או שאימן יפה מן הקוף או שאבא שלהן רזה מן הקרנף
מצא דוגמא נגדית לכל אחד מן המשפטים שאינו שקול לשלילה.
2
הגדרה:
קבוצת וקטורים נקראת תלוייה לינארית אם קיימים סקלרים
כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם
אילו מן ההגדרות הבאות מתאימה לקבוצת וקטורים שאינה תלוייה לינארית:
- וקטורים המקיימים
- לא, כי יתכן שקיים צירוף לינארי לא טריוויאלי אחר של הוקטורים שכן מתאפס
- וקטורים המקיימים
- לא, אף קבוצת וקטורים לא מקיימת הגדרה זו (למרות שכן יש קבוצות וקטורים שאינן תלויות לינארית)
- וקטורים המקיימים את התנאי- אם
אזי
- כן, כי אם הקבוצה הייתה תלויה לינארית אז היו קיימים סקלרים
כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם
, אבל אז כולם היו שווים לאפס לפי ההגדרה בסתירה.
- כן, כי אם הקבוצה הייתה תלויה לינארית אז היו קיימים סקלרים
- וקטורים שלעולם לא מקיימים את התנאי
- לא, מכיוון שקבוצת וקטורים שאינה תלויה לינארית יכולה לקיים את התנאי עבור
- לא, מכיוון שקבוצת וקטורים שאינה תלויה לינארית יכולה לקיים את התנאי עבור
3
תהיינה A,B,C קבוצות. נניח נתון .
הוכח/הפרך כל אחת מן הטענות הבאות:
או
- הפרכה:
- הפרכה:
- אם
אזי
- הוכחה: יהי
. לכן
לכן
או
. נתון
לכן
לכן
- הוכחה: יהי
אם ורק אם
- הפרכה:
- הפרכה:
- הוכחה: יהי
. לכן
לכן
או
. לפי הגדרת x הוא לא בA לכן הוא בB.
- הוכחה: יהי
- אם
אזי
- הפרכה:
- הפרכה:
- הוכחה. היעזרו במשפטים הבאים (אחרי שתוכיחו אותם):
1. אם וגם
אז
2.
- הוכחה:
אגף שמאל הוא איחוד של שלוש קבוצות המוכלות ב לכן כל אגף שמאל מוכל באגף ימין
יהי
. אם
אז הוא באגף שמאל בגלל האיחוד עם C. אחרת,
. לפי ההגדרה של x הוא בA או בB. אם הוא בA אז הוא ב
ואם הוא בB אז הוא ב
. לכן סה"כ הוא תמיד באגף שמאל לכן אגף ימין מוכל באגף שמאל