1
קבעו אילו מן המשפטים הבאים שקולים לשלילה של המשפט "לכל קוף ולכל קרנף, יש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף"
- יש קוף כך שלכל הג'ירפות אין אבא שמן כמו אף קרנף או שאימן יפה מהקוף
- לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האב של הג'ירפה רזה מהקרנף
- יש קוף, קרנף וג'ירפה עם אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף
- לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, שתי ג'ירפות. האב של הג'ירפה הראשונה רזה מהקרנף. לג'ירפה השנייה יש אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף
- לכל קוף אין קרנף כך שיש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף
- לא שלילה. קוף אחד, שני קרנפים, ג'ירפה אחת. האמא של הג'ירפה יפה מהקוף. אביה של הג'ירפה שמן כמו הקרנף הראשון, ורזה מהקרנף השני.
- יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאין להן אבא שמן כמו הקרנף, אין להם אמא מכוערת כמו הקוף
- לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האבא של הג'ירפה רזה מהקרנף, והאמא שלה יפה מהקוף.
- יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאביהן שמן כמו הקרנף, אימן יפה מן הקוף
- לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האבא של הג'ירפה רזה מהקרנף.
- יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות או שאימן יפה מן הקוף או שאבא שלהן רזה מן הקרנף
- לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האבא של הג'ירפה רזה מהקרנף, האמא שלה מכוערת כמו הקוף.
מצא דוגמא נגדית לכל אחד מן המשפטים שאינו שקול לשלילה.
2
הגדרה:
קבוצת וקטורים נקראת תלוייה לינארית אם קיימים סקלרים כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם
אילו מן ההגדרות הבאות מתאימה לקבוצת וקטורים שאינה תלוייה לינארית:
- וקטורים המקיימים
- לא, כי יתכן שקיים צירוף לינארי לא טריוויאלי אחר של הוקטורים שכן מתאפס
- וקטורים המקיימים
- לא, אף קבוצת וקטורים לא מקיימת הגדרה זו (למרות שכן יש קבוצות וקטורים שאינן תלויות לינארית)
- וקטורים המקיימים את התנאי- אם אזי
- כן, כי אם הקבוצה הייתה תלויה לינארית אז היו קיימים סקלרים כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם , אבל אז כולם היו שווים לאפס לפי ההגדרה בסתירה.
- וקטורים שלעולם לא מקיימים את התנאי
- לא, מכיוון שקבוצת וקטורים שאינה תלויה לינארית יכולה לקיים את התנאי עבור
3
תהיינה A,B,C קבוצות. נניח נתון .
הוכח/הפרך כל אחת מן הטענות הבאות:
- או
- הפרכה:
- אם אזי
- הוכחה: יהי . לכן לכן או . נתון לכן לכן
- אם ורק אם
- הפרכה:
-
- הוכחה: יהי . לכן לכן או . לפי הגדרת x הוא לא בA לכן הוא בB.
- אם אזי
- הפרכה:
-
- הוכחה. היעזרו במשפטים הבאים (אחרי שתוכיחו אותם):
1. אם וגם אז
2.
-
- הוכחה:
אגף שמאל הוא איחוד של שלוש קבוצות המוכלות ב לכן כל אגף שמאל מוכל באגף ימין יהי . אם אז הוא באגף שמאל בגלל האיחוד עם C. אחרת, . לפי ההגדרה של x הוא בA או בB. אם הוא בA אז הוא ב ואם הוא בB אז הוא ב. לכן סה"כ הוא תמיד באגף שמאל לכן אגף ימין מוכל באגף שמאל