מד״ר מסדר שני
הצורה הכללית של מד״ר כזו היא , והפתרון הוא מהצורה .
בעיית קושי מסדר 2
זו בעיה שבה אנו נדרשים לפתור מד״ר עם שני תנאי התחלה (מובן ש־ אינו הנגזרת של הקבוע , אלא ערך הנגזרת בנקודה ).
סוגים נפוצים
סוג 1
מתקיים . ניתן לפתור זאת ע״י אינטגרציה פעמים (במקרה שלנו, ).
סוג 2
אלה מד״ר שבהן ניתן להוריד את סדר המשוואה. עבור מד״ר מסדר 2, נחלק לשני מקרים:
מקרה 1
לא מופיע במשוואה, כלומר המשוואה מהצורה . במקרה זה נציב ונקבל מד״ר מסדר ראשון.
תרגיל
פתרו את המד״ר .
פתרון
נציב ולכן: | ||||||
נסמן : | ||||||
מקרה 2
לא מופיע במשוואה, כלומר המד״ר מהצורה . שוב נגדיר , ואז . המד״ר הופכת ל־, כלומר מד״ר מסדר ראשון של . נובע ש־.
תרגיל
פתרו .
פתרון
נציב באופן הנ״ל ונקבל
משוואות ריקטי
אלה מד״ר מהצורה . פתרון כללי של משוואת ריקטי הוא מהצורה , ולכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה.
הוכחה
ראשית, נוכיח שלכל ביטוי מהצורה הנ״ל קיימת משוואת ריקטי מתאימה: מתקיים ולכן . נגזור את שני האגפים ונקבל . נציג את שתי המשוואות האחרונות בצורה ונשים לב שהמטריצה הכחולה מאפסת וקטור שאינו וקטור האפס, ולפיכך הדטרמיננטה שלה היא 0: . נחשב את הדטרמיננטה ונגלה ש־, כדרוש.
לצד השני, יהי פתרון רגולרי של משוואת ריקטי. נציב במד״ר (כאשר פונקציה לא ידועה) ונגלה ש־
פתרון, לכן: |
לכן פתרון של משוואת ברנולי עם , ולפיכך הוא מהצורה . לבסוף הפתרון מהצורה .
מערכת מד״ר מסדר ראשון
זו מערכת מהצורה כאשר היא מערכת של פונקציות. המערכת היא ב־ משתנים. בצורה נורמלית: . לפיכך הפתרון הכללי הינו מהצורה . לדוגמה, היא מערכת מד״ר.
בעיית קושי
במערכת מד״ר מסדר 1, בעיית קושי היא לפתור את המד״ר עם תנאי ההתחלה .
משפט
מד״ר מסדר (נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית) שקולה למערכת של מד״ר מסדר ראשון (נורמליות/לינאריות/לינאריות־והומוגניות). אם למד״ר מסדר גבוה נתונים ערכי ההתחלה אז המד״ר שקולה לבעיית קושי עבור המערכת.
הוכחה
נתונה המד״ר ונסמן . לכן . נוסיף את המד״ר הבאות: . המערכת שקולה למד״ר המקורית והיא נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למערכת המקורית.
דוגמה
. נציב ו־ ולפיכך .
מד״ר סתומות מסדר 1
אלה מד״ר שאנו לא יודעים כיצד להביאן לצורה נורמלית.
סוגים נפוצים
מקרה 1
משוואה מסדר 1 וממעלה : . מכאן שקיימות פונקציות שעבורן .
תרגיל
פתרו .
פתרון
מקרה 2
לא מופיעה במד״ר. צורתה , ובהצבת נקבל . נשים לב ש־ ולכן . לפיכך, אם אזי .
תרגיל
פתרו .
פתרון
נסמן ונציב במד״ר: . עתה , וזו מד״ר ממקרה 1, שאותו אנו כבר יודעים לפתור.
מקרה 3
לא מופיעה, . שוב נציב , ונניח . אזי .
תרגיל
פתרו .
פתרון
אחרי הצבה נקבל ולבסוף . נציב חזרה וסיימנו.
מקרה 4
מופיעה ו־ לא, כלומר , והמד״ר סתומה. כרגיל, נגדיר . אם ו־ אזי , ומכאן ש־. לבסוף, .
תרגיל
פתרו .
פתרון
נסמן , נציב במד״ר ונקבל . כמו כן, . עתה, ולכן .
מקרה 5
מופיעה ו־ לא, כלומר , והמד״ר סתומה. נציב ולכן . נסמן ונגלה כי . מאינטגרציה ולפי הגדרת נקבל .