נושא חקירת פונקציות בקורס חשבון אינפיניטיסימלי כוללת מחקר סט תכונות מוסכם (פחות או יותר):
- תחום הגדרה (קביעה באילו נקודות הפונקציה מוגדרת)
- זוגיות (קביעה האם הפונקציה זוגית, אי-זוגית או לא)
- תחומי מונוטוניות ומציאת נקודות קיצון
- תחומי קמירות ומציאת נקודות פיתול
- אסימפטוטות מאונכות
- נקודות חיתוך עם הצירים
- אסימפטוטות משופעות ומציאת התנהגות באינסוף
- תרפיה בתרשים- ציור גרף הפונקציה
תרגילים
דוגמא מספר 1 -
תחום הגדרה
הגדרה: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): תהא f(x)
פונקציה. תחום ההגדרה של היא A- אוסף כל הנקודות בהם מוגדרת
דוגמא: תחום ההגדרה של הוא כל הישר
זוגיות/אי זוגיות
הגדרה: תקרא זוגית אם הגדרה: תקרא אי זוגית אם
דוגמא: ולכן
אינה זוגית ואינה אי זוגית
חיתוך עם הצירים
החיתוך עם ציר x הן הנקודות
החיתוך עם ציר y היא הנקודה
נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה
הגדרה: תהא פונקציה. נאמר ש עולה (יורדת) בתחום אם ()
הגדרה: תהא פונקציה. תקרא נקודת קיצון- מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה כך ש (או )
משפט: אם גזירה בנקודת קיצון אזי
מסקנה: בשביל למצוא נקודות קיצון של
מספיק לבדוק מתי
או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.
דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל :
ולכן הנקודה החשודה היחידה היא
מקס' או מיני'
איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?
- בדיקת הפונצקיה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב
ולכן 3 נקודת מיני הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
- בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (
מסתמך על העובדה כי : אם בקטע I אזי הפונקציה יורדת שם. אם אז הפונקציה עולה שם): ולכן משמאל ל 3 הפונקציה יורדת ומימין ל 3 היא עולה ולכן 3 נקודות מיני'הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של הוא ותחום הירידה
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה איפה שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
- מבחן הנגזרת השניה- אם
ומתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0
(או עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)<0
)
אז נקודות מיני' (או מקס'):
אצלנו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=2
ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(2)>0
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
תהא גזירה בנקודה אזי נאמר שהפונצקיה קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב אם קיימת סביבה של כך שלכל מתקיים:
()
נאמר ש נקודת פיתול אם קיימת סביבה
ימנית בה
וסביבה שמאלית
בה
או להיפך.
משפט: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): (f"(x_{0})<0)
אז קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב-
משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)
אינה קיימת או ש עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=0
דוגמא: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=2
ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.
אסימטוטות
הגדרה: אסימטוטה אנכית ל היא קו מהצורה כך שמתקיים אצלנו אין אסימטוטה אנכית.
הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר המקיים או
איך מוצאים ? מתקיים
ואז
דוגמא- אצלנו:
y ולכן אין אסימטוטה אופקית
התנהגות הפונצקיה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו
דוגמא 2:
תחום הגדרה
כי לא מוגדרת עבור -ים שליליים.
זוגיות/אי זוגיות
לא שייך בגלל תחום ההגדרה.
חיתוך עם הצירים
החיתוך עם ציר הוא
החיתוך עם ציר y לא קיים בגלל תחום ההגדרה
נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה
לכן יש לה נקודה חשודה ב
הסימן של עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"
נקבע ע"י
ולכן זוהי נקודת מקס'
תחומי העלייה של הפונקציה
תחומי ירידה
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
הסימן של עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"
נקבע ע"י ולכן נקודות חשודות לפיתול הם
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(e)<0,f"(e^{4})>0
ולכן נקודת פיתול
הפונקציה קעורה כלפי מטה ב
הפונצקיה קעורה כלפי מעלה ב
אסימטוטות
אסימטוטה אנכית ב כיוון ש
אסימטוטה אופקית:
ולכן
אסימטוטה אופקית
התנהגות הפונצקיה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו
ציור הפונקציה
דוגמא 3:
תחום הגדרה
תחום ההגדרה של הוא
זוגיות/אי זוגיות
ולכן אי זוגית
נקודות קיצון
ולכן הנקודות החשודות הן (נשים לב שהנקודות ) אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה.
מקס' או מיני'
נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של ולכן מימין ל הפונקציה יורדת ומימין ל היא עולה ולכן נקודות מיני'
6 נקודת מקס
0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין ל-0 וגם משמאל
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
דוגמא: אזי
ו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=\frac{24x(12-x^{2})[36+x^{2}]}{(12-x^{2})^{4}}
הנקודות החשודות לפיתלול הם הסימן של עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)
נקבע לפי החלק
נבדוק עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(-4)>0,f"(-1)<0,f(0)=0,f(1)>0,f(4)<0
ומכאן מסיקים כי
בקטע הפונצקיה קעורה כלפי מעלה
בקטע הפונצקיה קעורה כלפי מטה
בקטע הפונצקיה קעורה כלפי מעלה
בקטע הפונצקיה קעורה כלפי מטה
ובנקודה 0 יש נקודות פיתול(כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה)
אסימטוטות
ל- יש 2 אסימטוטות אנכיות ב
כי
אסימטוטה אופקית:
באותו אופן גם אסימטוטה לכיוון תצא אותו דבר.
ולכן אסימטוטה אופקית לשני הצדדים
התנהגות הפונצקיה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו
ציור הפונקציה
משפטים לסיכום
אם גזירה בנקודת קיצון x_{0} אזי
מבחן הנגזרת השניה- אם ומתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0
אז נקודות מיני'
אם בקטע אזי הפונקציה יורדת שם. אם אז הפונקציה עולה שם
אם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0
אז קעורה כלפי מעלה ב- מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)
אינה קיימת או ש עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=0