מרחבים וקטורים
דוגמא שכדאי שתהיה ברקע ּ
עם חיבור
וכפל בסקלאר הוא מרחב וקטורי.
ההגדרה הפורמאלית מכלילה את הדוגמא.
הגדרה: מרחב וקטורי הוא רביעיה , כאשר
- היא קבוצה המוגדרת בה פעולה בינארית של חיבור (+). כלומר
- הוא שדה. זכרו שבשדה גם מוגדרות פעולות חיבור וכפל, לא להתבלבל עם החיבור של וכפל בסקלאר.
- כפל בסקלאר () היא פעולה המקשרת בין איברי V לאיברי . פורמאלית
אקסיומות מרחב וקטורי:
- אקסיומות של החיבור ב : לכל מתקיים
- מוגדרות: .
- קיבוץ: .
- חילוף: .
- איבר נטרלי: .
- איבר נגדי: .
- אקסיומות של כפל וחיבור של שדה: בהגדרת שדה
- אקסיומות כפל בסקלאר: לכל מתקיים
- מוגדרות
- קיבוץ:
- כפל ביחידה (של השדה):
- פילוג:
טרמינולוגיה: אומרים ש מרחב וקטורי מעל .
איברי נקראים וקטורים. איברי נקראים סקלארים.
תכונות בסיסיות:
.1
.2
דוגמאות
1. מעל
עם חיבור
וכפל בסקלאר
2. מרחב המטריצות מעל שדה עם חיבור וכפל בסקלאר של מטריצות שהגדרנו כבר.
3. מרחב הפולינומים מעל שדה מדרגה קטנה שווה ל n. פורמאלית מעל שדה
עם פעולת חיבור פולינומים וכפל בסקלאר טבעיים.
4. מרחב הפולינומים עם חיבור וכפל בסקלאר מוכרים.
5. הוא מרחב וקטורי מעל עם חיבור וכפל "רגילים".
6. הוא מרחב וקטורי מעל .
הערה: הוא אינו מרחב וקטורי מעל (עם חיבור וכפל בסקלאר סטנדרטים) כי והכפל בניהם צריך להיות שייך ל אבל
תתי מרחבים
הגדרה יהיה מרחב וקטורי מעל . תת קבוצה יקרא תת מרחב אם הוא מרחב וקטורי בפני עצמו ביחס לפעולות V. סימון
הערה: כדי לבדוק אם W\subseteq V הוא תת מרחב מספיק לבדוק
- לכל מתקיים
- מוגדרות: .
- איבר נטרלי: 0 של נמצא ב-
- אקסיומות כפל בסקלאר: לכל מתקיים
- מוגדרות
את שאר האקסיומות יורש מ כתת קבוצה.
הערה: ניתן לרכז את הבדיקות הנ"ל מספיק לבדוק
- שלכל מתקיים .
אבחנה: תמיד תתי מרחבים ונקראים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): תתי המרחבים הטריוואלים .