משפט לגראנז'
תהי פונקציה רציפה בקטע
וגזירה בקטע
.
אזי קיימת נקודה עבורה מתקיים
.
הוכחה
נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות :
נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על-מנת לקבל את התוצאה הרצויה.
רציפה ב-
כהפרש פונקציות רציפות בקטע, וגזירה ב-
כהפרש פונקציות גזירות בקטע.
קל לראות כי ו-
. לכן לפי תנאי משפט רול קיימת נקודה
עבורה מתקיים
.
אבל:
כלומר
כפי שרצינו.