המספר e
לסדרה יש גבול ממשי (כפי שמוכח בהמשך). אנו מגדירים את המספר e להיות גבול הסדרה הזו.
משפט. תהי סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי
משפט. תהי סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי
סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול
. אזי
תרגיל.
חשב את גבול הסדרה
- פתרון
נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.
כיון ש- אנו מקבלים כי
תכונות
הסדרה מתכנסת לגבול ממשי, וכמו כן לכל מספר טבעי
מתקיים כי:
- הוכחה
אפשר להוכיח כי הסדרה השמאלית מונוטונית עולה, ונוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת.
מובן מאליו כי
אם כך, שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.
כמו כן:
וביחד אנו מקבלים את מה שרצינו להוכיח, כיוון שסדרה מונוטונית עולה תמיד קטנה מגבולה, וסדרה מונוטונית יורדת גדולה מגבולה.
נוכיח כי הסדרה הימנית מונוטונית יורדת:
נסמן
רוצים להוכיח
כלומר
נפתח את אי-השוויון:
כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים:
לכן מספיק להוכיח כי
אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
דוגמאות
תרגיל.
מצא את גבול הסדרה
לכן לפי משפט אם אזי גם
.
לכן הגבול הנו: