חזרה למשפטים בלינארית
משפט המימדים
יהי מ"ו נוצר סופית ויהיו
תתי-מרחב של
. אזי:
הוכחה
נסמן את הבסיס ל- ב-
.
כיון ש- , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל-
ובאופן דומה לבסיס ל-
.
נסמן את הבסיסים ב- .
נסמן את איחוד הבסיסים ב- , ונוכיח כי
הנו בסיס ל-
.
פורש את ![U+W](/images/math/a/c/6/ac6e8865b8a06865297fdf46714ad268.png)
יהי . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים,
.
ברור אם כך כי
בת"ל
ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B:
.
נסמן
ברור משני אגפי המשוואה כי ולכן
לכן ל-v יש הצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס לחיתוך, .
כמו כן, ל-v יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הבסיס של U ולכן מתקיים:
ולכן .
כעת קיבלנו כי ,
אבל זה צירוף לינארי של איברי הבסיס של W ולכן הוא טריוויאלי.
מכאן שהצירוף הלינארי היחיד שמתאפס של איברי B הינו הטריוויאלי ולכן B בת"ל.
ספירת מימדים וסיכום
מצאנו, איפוא, בסיסים לכל תתי המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת: