חזרה לדף מערכי התרגול.
פונקציות
הגדרה: יהיו קבוצות ו- יחס בינהן. אזי:
- התחום של R הינו
- התמונה של R הינה
הערה: ישירות מהגדרה מתקיים כי .
דוגמה:
- אזי התחום הוא והתמונה הינה .
הגדרה:
- יחס מ- ל- נקרא על אם כלומר .
- יחס מ- ל- נקרא מלא אם כלומר
- יחס נקרא חד ערכי אם כלומר אין איבר מ- שמתאים לשני איברים שונים מ-.
הגדרה:
יחס חד ערכי ומלא נקרא פונקציה; נסמן במקרה זה . ובאופן כללי . ( נקרא תחום (הגדרה) של הפונקציה ו- נקרא הטווח של הפונקציה.)
פונקציה נקראת חד-חד ערכית אם בנוסף היחס ההפוך הוא חד ערכי.
כלומר:
חח"ע אמ"מ אמ"מ .
הגדרה:
תהא קבוצה. פונקציית הזהות היא פונקציה המקיימת . נהוג לסמנה . פונקציית הזהות היא חח"ע ועל.
דוגמאות
באופן רשלני (וחסכוני), כאשר אנחנו מגדירים פונקציה לא תמיד נשתמש בכמת "לכל" לגבי איברי תחום ההגדרה.
- כאשר חח"ע ואינה על.
- כאשר אינה חח"ע ואינה על.
- כאשר לא מוגדרת כי .
- כאשר חח"ע ועל.
- כאשר חח"ע ועל.
- כאשר חח"ע ואינה על.
- תהא פונקציה אזי המוגדרת לכל לפי היא על (במילים: פשוט חושבים על הטווח של להיות התמונה של ).
- תהא אזי הפונקציה המוגדרת לכל לפי נקראת פונקציה ההכלה (אם זו פונקצית הזהות). פונקצית ההכלה היא חח"ע.
תרגיל
נסמן ב- את אוסף הפונקציות מהטבעיים לעצמם.
נתבונן בפונקציה המוגדרת ע"י האם היא חח"ע? האם היא על?
פתרון
הפונקציה לא חח"ע כי יש הרבה פונקציות שנותנות ל-1,2 (יחד!) את אותם ערכים.
היא כן על: לכל זוג סדור הפונקציה ששולחת את 1 ל-, ואת 2 ל-, היא המקור (את שאר הטבעיים נשלח לאן שנרצה).
תרגיל
תהא קבוצה. נגדיר פונקציה ע"י: האם היא חח"ע? על?
פתרון
חח"ע: כן. תהיינה אם אזי . אחרת .
על: לא. למשל לקבוצה אין מקור. אין תת קבוצה שהאוסף הזה הוא בדיוק אוסף הקבוצות המכילות אותה.
תרגיל
יהיו ו- קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכיחו שכל פונקציה מ- ל- הינה על אם"ם היא חח"ע.
הוכחה: נסמן . כאשר כל האיברים ב- שונים זה מזה וכנ"ל ב-.
נניח חח"ע אזי כיוון ש- ובשניהם יש אותו מספר איברים, מתקיים שיוון ולכן על.
נניח על. נניח בשלילה ש- אינה חח"ע אזי (כי יש שני איברים שנשלחים לאותו מקום) ואז אינה על, שזו סתירה.
הערה: הדבר אינו נכון אם ו- קבוצות אינסופיות. נסו למצוא דוגמה.
הרכבת פונקציות
הגדרה: יהיו שתי פונקציות אזי ההרכבה של על היא פונקציה המוגדרת על ידי הכלל .
הערה: אם מתייחסים לפונקציות כאל יחסים - מקבלים את ההגדרה של הרכבת יחסים.
משפט:
- אם חח"ע אזי חח"ע.
- אם על אזי על.
- מסקנה: אם חח"ע ועל אזי חח"ע ו- על.
פונקציות הפיכות
הערה: לכל פונקציה מתקיים וגם .
הגדרה: תהי פונקציה . פונקציה תיקרא הפונקציה ההופכית ל- אם וגם . במקרה זה נסמן את על ידי , ונאמר שהפונקציה היא הפיכה.
תרגיל (בהרצאה):
הוכיחו כי פונקציה הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל.
הוכחה:
אם הפיכה, אזי וגם . מכיוון שפונקציית הזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש- חח"ע ועל לפי משפט קודם.
אם חח"ע ועל, אז נגדיר ע"י: עבור קיים (כי על) יחיד (כי חח"ע) כך ש- . נגדיר . תרגיל: בדקו כי היא ההופכית של .