השתנות חסומה (המשך)

הגדרה: נתונה פונקציה f המוגדרת ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\} }[/math] חלוקה של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ([math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b }[/math]). ההשתנות (וריאציה) של f לפי P מוגדרת כ-[math]\displaystyle{ v(f,P)=\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})| }[/math]. כמו כן נגדיר את [math]\displaystyle{ \overset b\underset aV f }[/math], המסומן גם כ-[math]\displaystyle{ \overset b\underset aT f }[/math] ונקרא "ההשתנות הכללית/כוללת של הפונקציה", בתור [math]\displaystyle{ \sup_P\ v(f,P) }[/math]. אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

דוגמה: באחת מההרצאות הקודמות הגדרנו פונקציה S רציפה שאין לה נגזרת באף נקודה. לפונקציה זו יש השתנות אינסופית בכל קטע ב-[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math].

משפט 1

נניח ש-g ו-h הן פונקציות מונוטוניות עולות ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] ונגדיר [math]\displaystyle{ f=g-h }[/math] לכל נקודה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי f בעלת השתנות חסומה בקטע.

הוכחה

נבחר חלוקה כלשהי P של [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] שנקודותיה הן [math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_n=b }[/math]. לכן

	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\vert f(x_k)-f(x_{k-1})\vert }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ v(f,P) }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\vert g(x_k)-g(x_{k-1})-(h(x_k)-h(x_{k-1}))\vert }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\vert g(x_k)-g(x_{k-1})\vert+\sum_{k=1}^n\vert h(x_k)-h(x_{k-1})\vert }[/math]	[math]\displaystyle{ \le }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
g,h מונוטוניות עולות, לכן:	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n\Big(g(x_k)-g(x_{k-1})\Big)+\sum_{k=1}^n\Big(h(x_k)-h(x_{k-1})\Big) }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]
הטורים הללו טלסקופיים:	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ g(b)-g(a)+h(b)-h(a) }[/math]	[math]\displaystyle{ = }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]	[math]\displaystyle{ }[/math]

תוצאה זו בלתי תלוייה בחלוקה P ולכן [math]\displaystyle{ \overset b\underset aV f=\sup_P\ v(f,P)\le g(b)-g(a)+h(b)-h(a)\lt \infty }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

משפט 2

תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי קיימות פונקציות עולות g,h ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כך ש-[math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:\ f(x)=g(x)-h(x) }[/math].

הקדמה להוכחה

לפני ההוכחה נגדיר כמה דברים:

תהי Q חלוקה של הקטע שנקודותיה הן [math]\displaystyle{ a=x_0\lt x_1\lt \dots\lt x_m=b }[/math]. כמו כן נגדיר לכל x את [math]\displaystyle{ x^+=\begin{cases}x&x\ge0\\0&x\lt 0\end{cases} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ x^-=\begin{cases}0&x\gt 0\\-x&x\le 0\end{cases} }[/math]. לכן תמיד [math]\displaystyle{ x^+,x^-\ge 0 }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ x=x^+-x^- }[/math] ו-[math]\displaystyle{ |x|=x^++x^- }[/math]. עתה נגדיר [math]\displaystyle{ p=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^+ }[/math] ו-[math]\displaystyle{ n=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^- }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ v(f,Q)=p+n }[/math]. עוד נגדיר [math]\displaystyle{ P=\sup_Q\ p }[/math] ו-[math]\displaystyle{ N=\sup_Q\ n }[/math]. נסמן [math]\displaystyle{ T=\overset b\underset aV f }[/math] ו-[math]\displaystyle{ t=v(f,Q) }[/math], לכן מתקיים [math]\displaystyle{ t=p+n }[/math] ו-[math]\displaystyle{ T=\sup_Q\ t }[/math]. נעיר שלכל Q מתקיים [math]\displaystyle{ t=p+n\le P+N }[/math] ולפיכך [math]\displaystyle{ T\le P+N }[/math]. לבסוף, נשים לב ש-[math]\displaystyle{ P,N\le T }[/math] (כי [math]\displaystyle{ n,p\ge0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \sup\ p,\sup\ n\le\sup\ (p+n) }[/math]).

למה

בסימונים הנ"ל:

[math]\displaystyle{ f(b)-f(a)=P-N }[/math]
[math]\displaystyle{ T=P+N }[/math]

הוכחת הלמה

מתקיים
[math]\displaystyle{ \begin{align}p-n&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^+-\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^-\\&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\\&=f(b)-f(a)\end{align} }[/math]
נסיק ש-[math]\displaystyle{ p=f(b)-f(a)+n\le f(b)-f(a)+N }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ P=\sup_Q\ p\le f(b)-f(a)+N }[/math]. הראנו כבר ש-[math]\displaystyle{ N\le T\le\infty }[/math] ולכן מותר להעביר אגף: [math]\displaystyle{ P-N\le f(b)-f(a) }[/math]. כמו כן נסיק ש-[math]\displaystyle{ n=p-(f(b)-f(a))\le P-(f(b)-f(a)) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ N\le P-(f(b)-f(a)) }[/math]. עתה נעביר אגף לקבל [math]\displaystyle{ P-N\ge f(b)-f(a) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ P-N=f(b)-f(a) }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
מתקיים [math]\displaystyle{ T\ge t=p+n=p+p-(f(b)-f(a))=2p-(P-N) }[/math]. נעשה סופרימום על האגף הכי ימני ונקבל [math]\displaystyle{ T\ge 2P+N-P=N+P }[/math]. כבר הראנו ש-[math]\displaystyle{ T\le N+P }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ T=N+P }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

הוכחה

לכל [math]\displaystyle{ x\in[a,b] }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ g(x)=\overset x\underset aP f }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ \overset x\underset aP f=\sup_Q\ p }[/math] וכל Q היא חלוקה של הקטע [math]\displaystyle{ [a,x] }[/math]. באופן דומה נגדיר [math]\displaystyle{ h(x)=\overset x\underset aN f }[/math]. לפי סעיף 1 של הלמה, [math]\displaystyle{ \forall x\in[a,b]:\ f(x)-f(a)=\overset x\underset aP f-\overset x\underset aN f=g(x)-h(x) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x)=g(x)-(h(x)-f(a)) }[/math]. לפי הגדרת g,h, ככל ש-x גדל כך גדל הקטע שבו מוגדרות החלוקות Q עבורן [math]\displaystyle{ g(x)=\sup_Q\ \sum_{k=1}^m(f(x_k)-f(x_{k-1}))^+ }[/math] ובאופן דומה עבור h. מכיוון ש-[math]\displaystyle{ (f(x_k)-f(x_{k-1}))^\pm\ge0 }[/math] ברור ש-g,h מונוטוניות עולות (ולכן גם [math]\displaystyle{ h-f(a) }[/math] מונוטונית עולה). [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

מסקנה 1

תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי לכל [math]\displaystyle{ x_0\in[a,b) }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^+} f(x) }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ x_0\in(a,b] }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0^-} f(x) }[/math].

הוכחה

נגדיר g,h עולות כך ש-[math]\displaystyle{ f=g-h }[/math]. קל לראות שהן חסומות ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] (כי הן מונוטוניות ומוגדרות בנקודות a,b) ולכן (ממשפט באינפי 1) קיימים להן גבולות חד צדדיים לכל נקודה בקטע. מאריתמטיקה של גבולות גם ל-f יש גבולות חד צדדים בקטע. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

מסקנה 2

תהי f פונקציה בעלת השתנות חסומה ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. אזי f אינטגרבילית ב-[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math].

הוכחה

תהנה g,h מונוטוניות כך ש-[math]\displaystyle{ f=g-h }[/math]. לפיכך הן אינטגרביליות בקטע ולכן גם הפרשן הוא פונקציה אינטגרבילית בקטע. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]