שיעור ראשון

שדות

הגדרה

קבוצה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math] עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור [math]\displaystyle{ (\mathbb{F},\cdot,+) }[/math] נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:

סגירות- [math]\displaystyle{ \forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F} }[/math]. (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)
קומוטטיביות/חילופיות- [math]\displaystyle{ \forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a }[/math]
אסוציאטיביות- [math]\displaystyle{ \forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c) }[/math]
קיום איברים נייטרליים- קיימים איברים שנסמנם 1,0 המקיימים [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a = a \cdot 1 = a, a+0=0+a=a }[/math]. בנוסף מתקיים ש[math]\displaystyle{ 0\neq 1 }[/math]
קיום איבר נגדי לחיבור- לכל איבר a קיים איבר שנסמנו [math]\displaystyle{ (-a) }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ a+(-a)=0 }[/math]. לצורך קיצור הכתיבה נסמן [math]\displaystyle{ a+(-a)=a-a }[/math] (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)
קיום איבר הופכי לכפל- לכל איבר [math]\displaystyle{ a\neq 0 }[/math] קיים איבר שנסמנו [math]\displaystyle{ a^{-1} }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ a\cdot a^{-1} = 1 }[/math]. שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הינה [math]\displaystyle{ a\cdot b^{-1}=\frac{a}{b} }[/math]
דיסטריביוטיביות/פילוג- [math]\displaystyle{ \forall a,b,c\in\mathbb{F}: a\cdot (b+c)=a\cdot b +a\cdot c }[/math]. שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור

תרגיל 1.3 סעיף ג'

יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = 0 }[/math], כאשר 0 הינו הסימון לאיבר הנייטרלי החיבורי.

פתרון

ראשית נשים לב שלפי הנתונים ניתן להניח שתכונות השדה מתקיימות.

לפי תכונה (4) מתקיים ש [math]\displaystyle{ 0+0=0 }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)\cdot a }[/math]

לפי תכונה (7) מתקיים בנוסף ש[math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a = (0+0)\cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a }[/math] (השתמשנו בעצם בתכונה (7) לאחר שהפעלנו עליה את תכונה (2))

לפי תכונה (5) לאיבר [math]\displaystyle{ 0\cdot a \in\mathbb{F} }[/math] קיים איבר נגדי. נחבר אותו לשני צידי המשוואה לקבל [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a + (-(0\cdot a)) = (0\cdot a + 0\cdot a) + (-(0\cdot a)) }[/math]

לפי תכונה (3) ניתן להחליף את סדר הסוגריים מימין ולקבל [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0\cdot a + (-(0\cdot a)) = 0\cdot a + (0\cdot a + (-(0\cdot a))) }[/math]

עוד לפי תכונה (5) יחד עם תכונה (4) מתקיים ש[math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:0 = 0\cdot a }[/math] בדיוק כפי שנדרשנו לגזור.

תרגיל 1.3 סעיף ו'

יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:-(-a)=a }[/math]. (כלומר, הנגדי של הנגדי הוא האיבר עצמו)

פתרון

לכל איבר a בשדה:

מתכונה (5) [math]\displaystyle{ a+(-a)=0 }[/math]

כמו כן, מתכונה (5) [math]\displaystyle{ (-a)+(-(-a))=0 }[/math]

נשווה את שתי ההצגות השונות של אפס [math]\displaystyle{ a+(-a)=(-a)+(-(-a)) }[/math]

נוסיף לשני האגפים את אותו האיבר [math]\displaystyle{ (a+(-a))+a=((-a)+(-(-a)))+a }[/math]

לפי תכונות (3), (2) ו(5) נקבל [math]\displaystyle{ a=-(-a) }[/math] כפי שרצינו.

תרגיל 1.3 סעיף ז'

יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb{F} }[/math]. הוכח שניתן לגזור מתכונות השדה את הטענה הבאה: [math]\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{F}:(-1)\cdot a=-a }[/math]. (כלומר הנגדי של האיבר הנייטרלי הכפלי כפול a הינו הנגדי של a)

פתרון

מתוך תכונות (7),(5) וסעיף ג' שהוכחנו לעיל, [math]\displaystyle{ 0=0\cdot a = (1+(-1))\cdot a = 1\cdot a + (-1)\cdot a }[/math]

לפי תכונה (4) קיבלנו [math]\displaystyle{ 0=a+(-1)\cdot a }[/math]

נוסיף לשני האגפים את הנגדי של a ונקבל [math]\displaystyle{ -a=(-1)\cdot a }[/math] כפי שרצינו.

תרגיל 2.3 סעיף א'

יש להוכיח שקבוצת הטבעיים [math]\displaystyle{ \mathbb{N}=\{1,2,3,....\} }[/math] אינה שדה.

פתרון

אין איבר נייטרלי לחיבור: [math]\displaystyle{ \forall n,k\in\mathbb{N}:n+k\gt n }[/math] ואילו האיבר הנייטרלי היה צריך לקיים [math]\displaystyle{ n+0=n }[/math].

תרגיל 2.3 סעיף ג'

יש להוכיח ש[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math] אינו שדה כאשר n מספר פריק (כלומר קיימים טבעיים כך ש n=mk)

דעו ש[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n }[/math] הינו קבוצה מהצורה [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_n=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},...,\overline{n-1}\} }[/math] יחד עם פעולות החיבור והכפל הרגילות מודולו n.

פתרון

לפי הנתונים קיימים [math]\displaystyle{ k,m\lt n }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ mk=n }[/math]. לפיכך, לפי ההגדרה,

[math]\displaystyle{ \overline{m}\overline{k}=n\mod{n} =\overline{0} }[/math].

לו היה זה שדה, היו קיימים איברים הופכיים (שכן k,m mod n שונה מאפס) בהם היה ניתן לכפול והיינו מקבלים:

[math]\displaystyle{ \overline{k}^{-1}\overline{m}^{-1}\cdot 0 = 1 }[/math]

ולכן 0=1 בסתירה לתכונות השדה.

תרגיל 2.6

הסבר מדוע [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math] אינו תת שדה של [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]

פתרון

תת שדה הינו תת קבוצה של איברים, תחת אותן פעולות כמו בשדה. לכן [math]\displaystyle{ (p-1)+1 = p \neq 0 }[/math] ולכן אין סגירות לחיבור וזה אינו תת שדה.